2024-2025学年重庆一中高一（下）第一次月考数学试卷（3月份）（含答案）.docx
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2024-2025学年重庆一中高一（下）第一次3月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量?a=(2,3)，b=(x,4)，若?a⊥(a?b
A.1 B.12 C.2 D.
2.下列是函数f(x)=tan(2x?π4
A.(?π4,0) B.(π4,0)
3.已知a,b是两个单位向量，若向量a在向量b上的投影向量为12b，则向量b与向量a
A.30° B.60° C.150° D.120°
4.在△ABC中，A=π6，BC=2，若满足上述条件的△ABC恰有一解，则边长AC的取值范围是(????)
A.(0,2) B.(0,2] C.(0,2)∪{4} D.(0,2]∪{4}
5.在艺术、建筑设计中，把短对角线与长对角线的长度之比为2?1的菱形称为“白银菱形”.如图，在白银菱形ABCD中，若AD?AB=λAC
A.32?22
B.3?22
6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，3(acosB+bcosA)=5ccosA，sinB+sinC=435，则
A.85 B.59 C.58
7.已知点O是△ABC的内心，若AO=49AB+
A.15 B.16 C.18
8.已知四边形ABCD满足∠BAD+∠BCD=π，且其外接圆半径为52，四边形ABCD的周长记为L，若△ABD的面积S=BD2?(AD?AB)22
A.10 B.15 C.105
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z满足z(1+i)=6i5，则(????)
A.|z|=32 B.z?的虚部是3
C.z?z?
10.已知函数f(x)=sinωx?3cosωx,ω0，则下列结论中正确的是
A.若ω=2，则将f(x)的图象向左平移π6个单位长度后得到的图象关于原点对称
B.若|f(x1)?f(x2)|=4，且|x1?x2|的最小值为π2，则ω=2
C.若f(x)在[0,π3]
11.已知平面向量a，t满足|a|=2,|b|=1,
A.|a?tb|(t∈R)的最小值为3
B.若m22+n25=1，则|ma+nb|的最大值为5
C.若向量
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若2i?3是方程2x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，则p+q=
13.已知向量a=(1,?2)与b=(sinα?233
14.已知函数f(x)=sin4x?cos4x(0≤x≤2π)，则关于
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知偶函数f(x)=2sin(2ωx+φ)，(ω0,φ∈(0,π))，且函数f(x)的最小正周期为π．
(1)求ω与φ的值；
(2)若g(x)=f(x)+2sin2x，求g(x)的对称轴和对称中心．
16.(本小题15分)
已知如图在边长为8的正三角形ABC中，D为BC的中点，E为BD的中点．
(1)若点P为△ABC的重心，且有AP=mAB+nAC，求m和n的值；
(2)若点Q在以点E为圆心，半径为1的圆上运动，且有AQ
17.(本小题15分)
已知几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，现以AB，BC，AC为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为O1，O2，O3，且acos(B?C)=cosA(23bsinC?a)．
(1)求A；
(2)若a=3，
18.(本小题17分)
锐角△ABC面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(b2?a2)sinB=2S．
(1)求证：B=2A；
(2)若b+c=72a
19.(本小题17分)
17世纪法国数学家费马曾提出这样一个问题：怎样在一个三角形中求一点，使它到每个顶点的距离之和最小？现已证明：在△ABC中，若三个内角均小于120°，当点P满足∠APB=∠APC=∠BPC=120°时，则点P到三角形三个顶点的距离之和最小，点P被称为△ABC的费马点.请根据费马点性质解决下列问题：
(1)已知在△ABC中，AB=AC=4，BC=23，若点P为△ABC的费马点，求△APB的面积；
(2)已知在△ABC中，AB=AC=1，A=π2，若点P为△ABC平面上任意一点，求|AP?AB|+|AP+AB|+|AP?AC|的最小值；
(3)已知在△ABC中，C=2π3，AC=1
参考答案
1.B?
2.D?