2024-2025学年浙江省宁波市姜山中学高一下学期3月月考数学试卷（含答案）.docx
第=page11页，共=sectionpages11页
2024-2025学年浙江省宁波市姜山中学高一下学期3月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，四边形ABCD中，AB=DC，则必有(????)
A.AD=CB B.DO=OB C.
2.已知单位向量e1，e2的夹角为60°，则
A.?6 B.?4 C.?2 D.?1
3.已知点P是?ABC的重心，则(????)
A.AP=16AB+16AC
4.已知?ABC中的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，A=2π3，a=7，c=5，则sinA:
A.73 B.37 C.53
5.已知向量a,b,c均为单位向量，且a+b+
A.π6 B.π4 C.π3
6.在?ABC中，若a?ccosB=b?ccosA，则?ABC
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
7.若O为△ABC所在平面内一点，且满足OB?OC=OB+OC
A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
8.已知向量a?b?c满足：b为单位向量，且a+2b和a?2b相互垂直，又对任意λ∈R不等式|
A.1 B.635 C.5
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=1,?2,b
A.若a与b垂直，则m=12 B.若a//b，则a?b的值为?5
C.若m=2，则a?b=2
10.若e1,e2
A.e1?e2,e2?e
11.在?ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，下列命题正确的是(????)
A.若ABAB+ACAC?BC=0，则?ABC为等腰三角形
B.若b=3,a=4,B=45°，则此三角形有两解
C.若a?cosA=b?
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.向量a=6,2在向量b=2,?1上的投影向量为
13.鄂州十景之一“二宝塔”中的文星塔位于文星路与南浦路交汇处，至今已有四百六十多年的历史，该塔为八角五层楼阁式砖木混合结构塔.现在在塔底共线三点A、B、C处分别测塔顶的仰角为30°、45°、60°，且AB=BC=70
14.如图，半径为1的扇形AOB中，∠AOB=2π3,P是弧AB上的一点，且满足OP⊥OB,M,N分别是线段OA,OB上的动点，则PM?PN的最大值为??????????
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设a,
(1)若OA=4a?2
(2)若4a+12kb
16.(本小题15分)
如图所示，在平面四边形ABCD中，AD=1,CD=2,AC=
??
(1)求cos∠CAD
(2)若B为锐角，BC=2,sin∠BAC=21
17.(本小题15分)
如图，已知点G是边长为1的正三角形ABC的中心，线段DE经过点G，并绕点G转动，分别交边AB,AC于点D,E，设AD=mAB,
(1)求1m
(2)求?ADE面积的最小值，并指出相应的m,n的值．
18.(本小题17分)
在?ABC中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知c=2，C=π
(1)若?ABC的面积等于3，求?ABC
(2)若sinB=2sinA，求
19.(本小题17分)
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当?ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为费马点；当?ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知
(1)若csin
①求A；
②若bc=2，设点P为?ABC的费马点，求PA?
(2)若cos2B+cos2C?cos2A=1，设点P为?ABC的费马点，PB
参考答案
1.B?
2.B?
3.D?
4.A?
5.C?
6.D?
7.B?
8.D?
9.BC?
10.ABC?
11.ABD?
12.4,?2?
13.703
14.1?
15.【详解】(1)由OA=4
得AB=
BC=
所以AB//BC，且有公共点
所以A,B,C三点共线．
(2)由4a+1
则存在实数λ，使得4a
即4?12λk
因此4?12λk=01
实数k的值是±4
?
16.【详解】(1)在△ADC中，由余弦定理可得
cos
(2)在?ABC中，由正弦定理可得ACsin∠B=BC
?
17.【详解】(1)延长AG交BC与F，由G是正三角形AB