2024_2025学年高中数学第二章变化率与导数§1变化的快慢与变化率课后巩固提升含解析北师大版选修2_2.docx
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其次章DIERZHANG改变率与导数
§1改变的快慢与改变率
课后篇巩固提升
1.函数y=x2在区间[x0,x0+Δx](Δx0)上的平均改变率为k1,在[x0-Δx,x0]上的平均改变率为k2,则()
A.k1k2 B.k1k2
C.k1=k2 D.k1与k2的大小关系不确定
解析由题意结合函数的解析式有
k1==2x0+Δx,
k2==2x0-Δx,
则k1-k2=4Δx.因为Δx0,所以k1k2.故选A.
答案A
2.一个物体的运动方程为s=t2-t+1,其中s的单位是米,t的单位是秒.则物体在3秒末的瞬时速度是()
A.7米/秒 B.6米/秒
C.5米/秒 D.4米/秒
解析∵
==5+Δt,∴当Δt→0时,→5.
答案C
3.将半径为R的球加热,若球的半径增加ΔR,则球的表面积增量ΔS等于()
A.8πRΔR B.8πRΔR+4π(ΔR)2
C.4πRΔR+4π(ΔR)2 D.4π(ΔR)2
解析ΔS=4π(R+ΔR)2-4πR2=8πRΔR+4π(ΔR)2,故选B.
答案B
4.物体甲,乙在时间0到t1范围内路程的改变状况如图所示,下列说法正确的是()
A.在0到t0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度
B.在0到t0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度
C.在t0到t1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度
D.在t0到t1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度
解析在0到t0范围内,甲,乙所走的路程相同,时间相同,所以平均速度相同,在t0到t1范围内,时间相同,而甲走的路程比乙的大,所以甲的平均速度大.
答案C
5.已知曲线y=2x2+1在点M处的瞬时改变率为-4,则点M的坐标为()
A.(1,3) B.(-4,33)
C.(-1,3) D.不确定
解析设点M的坐标为(t0,2+1),则
==4t0+2Δx,
由题意知4t0=-4,即t0=-1.
故点M的坐标为(-1,3).
答案C
6.已知函数y=f(x)=-x2+x在区间[t,1]上的平均改变率为2,则t=.?
解析因为Δy=f(1)-f(t)=(-12+1)-(-t2+t)=t2-t,所以=-t.又因为=2,所以t=-2.
答案-2
7.一物体的运动曲线为s=3t-t2,则该物体的初速度为.?
解析∵Δs=3(0+Δt)-(0+Δt)2-(3×0-02)=3Δt-(Δt)2,∴当Δt趋于0时,=3-Δt趋于3.
答案3
8.已知甲厂生产一种产品,产品总数y与时间x(1≤x≤12,单位:月)的图像如图所示,则下列说法正确的是.?
①前3个月内增长越来越快.
②前3个月内增长越来越慢.
③产品数量始终增加.
④第3个月到第8个月内停产.
解析前3个月内函数图像越来越平,增长越来越慢,第3个月到第8个月内总数未改变,所以这段时间内停产;第8个月到第12个月内总数增加越来越快,故正确的应为②④.
答案②④
9.已知函数f(x)=在区间[1,t]上的平均改变率为-,则t=.?
解析∵反比例函数y=(k≠0)在区间[m,n]上的平均改变率为-,∴-=-,解得t=3.
答案3
10.设某产品的总成本函数为C(x)=1100+,其中x为产量数,则生产900个单位到1000个单位时总成本的平均改变率为.?
解析
=.
答案
11.已知函数y=f(x)=3x2+2,求该函数在x0=1,2,3旁边Δx取时的平均改变率k1,k2,k3,并比较大小.
解函数y=f(x)=3x2+2在区间[x0,x0+Δx]上的平均改变率为=6x0+3Δx.
当x0=1,Δx=时,函数在区间[1,1.5]上的平均改变率k1=6×1+3×0.5=7.5;
当x0=2,Δx=时,函数在区间[2,2.5]上的平均改变率k2=6×2+3×0.5=13.5;
当x0=3,Δx=时,函数在区间[3,3.5]上的平均改变率k3=6×3+3×0.5=19.5.
∵7.513.519.5,∴k1k2k3.
12.航天飞机升空后一段时间内,第ts时的高度h(t)=5t3+30t2+45t+4,其中h的单位为m,t的单位为s.
(1)h(0),h(1),h(2)分别表示什么?
(2)求前2s内的平均速度;
(3)求第2s末的瞬时速度.
解(1)h(0)表示航天飞机放射前的高度;h(1)表示航天飞机升空1s后的高度;h(2)表示航天飞机升空2s后的高度.
(2)航天飞机升空后前2s内的平均速度为=125(m/s).
故航天飞机升空后前2s内的平均速度为125m/s.
(3)∵航天飞机升空后在t=2s时的位移增量与时间增量的比值为
v==
==5(Δt)2+60Δt+225,
∴当Δt→0