2024-2025学年湖南省常宁市第一中学高一下学期第一次月考数学试卷（含答案）.docx
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2024-2025学年湖南省常宁市第一中学高一下学期第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若z=i+2i2+3i3
A.4 B.8 C.22
2.AB?
A.2BC B.2CB C.2AD
3.在?ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，c=5，B=30°，则?ABC的面积为
A.302 B.104 C.
4.在?ABC中，记AB=a，AC=b，点D在直线BC上，且BD=3DC.若AD=ma
A.?2 B.?13 C.13
5.在?ABC中，若A=60°,a=3
A.3 B.32 C.2
6.已知点A1,1，B0,2，C?1,?1.则AB在BC
A.105,3105 B.
7.如图，在矩形ABCD中，E为AD边上靠近点A的三等分点，F为AB边上靠近点B的四等分点，且线段EF交AC于点P.若AB=a，AD=b，则AP=
A.34a+34b B.3
8.设?ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2cosAsinB=b
A.等腰三角形 B.等腰三角形或直角三角形
C.直角三角形 D.锐角三角形
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z=?1+ii，则下列选项正确的是(????)
A.z的虚部为1 B.z=2
C.z2为纯虚数 D.
10.如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶30海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则下列结论正确的是(????)
A.∠CAD=60° B.A、D之间的距离为152海里
C.A、B两处岛屿间的距离为156海里 D.
11.如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成θθ≠π2角的两条数轴，e1、e2分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为θ斜坐标系，若OM=xe1+ye2，则把有序数对x,y叫做向量OM的斜坐标，记为OM=x,y.
A.a?b=12?3,32+1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z满足z2+2z+3=0，则z?z=
13.如图，在边长为2的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且MN=2BC，点E为DC的中点，则EM?EN=??????????．
14.已知O为坐标原点，向量OA，OB，OC，满足OA=OB=OC=1，(OA?OB
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分
已知向量a=1,2
(1)若(a+b
(2)若t=1，a与a+mb的夹角为锐角，求实数m
16.(本小题15分
在?ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos
(1)求角A的大小．
(2)若a=7，b+c=5，D为BC中点，求AD
17.(本小题15分)
如图，在?ABC中，点D在线段BC上，且满足BD=13DC，过点D的直线分别交直线AB?AC于不同的两点
(1)AD=xAB
(2)求证：3m+1n
18.(本小题17分
已知?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2bcos
(1)求角B；
(2)设∠ABC的角平分线BD交AC于点D，若BD=2，求?ABC的面积的最小值．
19.(本小题17分
已知O为坐标原点，对于函数f(x)=asinx+bcosx，称向量OM=(a,b)为函数f(x)
(1)记向量ON=(1,3)的相伴函数为f(x)，若当f(x)=8
(2)已知A(?2,3)，B(2,6)，OT=(?3,1)为?(x)=msinx?π6的相伴特征向量，φ(x)=?x
(3)记向量ON=(1,3)的相伴函数为f(x)，若当x∈0,11π12
参考答案
1.C?
2.B?
3.B?
4.C?
5.C?
6.C?
7.B?
8.B?
9.AC?
10.BC?
11.BC?
12.3?
13.?3?
14.[11,13]?
15.【详解】(1)由题可知a+
a
∵(a
∴2(2?t)=0，∴t=2．
(2)若t=1，则b=1,1，
∵a与a
∴a?a+mb
∴1+m+2(2+m)02(1+m)≠2+m，解得m?5
∴m的取值范围是?5
?
16.【详解】(1)在?ABC中，由2cos
得2cos
整理得3
则3cosAsinB=
又A∈(0,π)，所以A=π
(2)由(1)知A=π3，由余弦定理得
解得bc=6，由D为