2024_2025学年新教材高中数学第三章排列组合与二项式定理1.2第2课时排列数的应用学案新人教B版选择性必修第二册.doc

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排列数的应用

关键实力·合作学习

类型一数字排列问题(逻辑推理、数学运算)

1．用1，2，3，4，5，6，7这7个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必需是偶数，奇数位上必需是奇数，则这样的七位数有________个．

【解析】先排奇数位有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))种，再排偶数位有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))种，故共有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝144个．

答案：144

2．用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有________个．

【解析】由题设可知：当首位排5和3时，末位可排2和4，中间三数全排，两种状况共有4Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))种；当首位排2和4时，末位只能排4和2，中间三个数全排，两种状况共有2Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))，所以由分类加法计数原理可得全部符合条件的五位数共有6Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝6×6＝36个．

答案：36

3．用1，2，3，4，5，6，7这7个数字组成没有重复数字的四位数．

(1)假如组成的四位数必需是偶数，那么这样的四位数有多少个？

(2)假如组成的四位数必需大于6500，那么这样的四位数有多少个？

【解析】(1)第一步排个位上的数，因为组成的四位数必需是偶数，个位数字只能是2，4，6之一，所以有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))种排法；其次步排千、百、十这三个数位上的数字，有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))种排法．依据分步乘法计数原理，符合条件的四位数的个数是Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))＝3×6×5×4＝360.

故这样的四位数有360个．

(2)因为组成的四位数要大于6500，所以千位上的数字只能取7或6.排法可以分两类．第一类：千位上排7，有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))种不同的排法；其次类：若千位上排6，则百位上可排7或5，十位和个位可以从余下的数字中取2个来排，共有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))种不同的排法．依据分类加法计数原理，符合条件的四位数的个数是Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))＋Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))＝160.

故这样的四位数有160个．

数字排列问题的解题原则

排列问题的本质是“对象”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某对象不排在某个位子上，或某个位子不排某些对象，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊对象或优先满意特殊位子，若一个位子支配的对象影响到另一个位子的对象个数时，应分类探讨．

提示：解决数字问题时，应留意题干中的限制条件，恰当地进行分类和分步，尤其留意特殊对象“0”的处理．

类型二“排序”问题(数学抽象、逻辑推理)

角度1“相邻”与“不相邻”问题?

【典例】3名男生，4名女生，这7个人站成一排，在下列状况下，各有多少种不同的站法．

(1)男、女各站在一起．

(2)男生必需排在一起．

(3)男生不能排在一起．

(4)男生互不相邻，且女生也互不相邻．

【思路导引】利用排列数公式解决相关问题时，特殊对象应特殊考虑，相邻对象捆绑处理，不相邻对象插空处理．

【解析】(1)(相邻问题捆绑法)男生必需站在一起，即把3名男生进行全排列，有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))种排法，女生必需站在一起，即把4名女生进行全排列，有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))种排法，全体男生、女生各看作一个对象全排列有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))种排法，由分步乘法计数原理知共有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝288种排法．

(2)(捆绑法)把全部男生看作一个对象，与4名女生组成5个对象全排列，故有A