2024-2025学年新教材高中数学 第3章 排列、组合与二项式定理 3.3 二项式定理与杨辉三角 第1课时 二项式定理说课稿 新人教B版选择性必修第二册.docx

2024-2025学年新教材高中数学第3章排列、组合与二项式定理3.3二项式定理与杨辉三角第1课时二项式定理说课稿新人教B版选择性必修第二册

授课内容

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设计思路

本节课以“2024-2025学年新教材高中数学第3章排列、组合与二项式定理3.3二项式定理与杨辉三角第1课时二项式定理”为主题，通过引导学生探究二项式定理的推导过程，使学生理解二项式定理的内涵，掌握二项式定理的应用。教学过程中，注重理论与实践相结合，培养学生逻辑思维能力和数学应用能力。

核心素养目标分析

培养学生数学抽象能力，通过探究二项式定理的推导，让学生理解从具体实例到一般规律的抽象过程。提升逻辑推理能力，通过证明二项式定理，引导学生学会从特殊到一般的推理方法。增强数学建模意识，通过将实际问题转化为二项式问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

学习者分析

1.学生已经掌握了哪些相关知识。

学生在此前已学习过排列、组合的相关知识，对计数原理有一定的了解。此外，学生应具备一定的代数基础，能够理解和运用多项式、指数等概念。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格。

学生对数学学科普遍抱有好奇心，尤其对解决实际问题感兴趣。学生的能力差异较大，部分学生具备较强的逻辑思维能力，能够快速理解和掌握新知识；而部分学生可能对抽象概念的理解较为困难。学习风格上，有的学生偏好通过具体实例学习，有的则更喜欢抽象思维和逻辑推理。

3.学生可能遇到的困难和挑战。

学生在学习二项式定理时可能遇到的困难包括：理解二项式定理的推导过程，掌握二项式定理的应用，以及将实际问题转化为二项式问题。此外，学生在证明二项式定理时可能对归纳推理的步骤和逻辑关系理解不够深入，需要教师引导和辅导。

教学资源

1.硬件资源：电子白板、笔记本电脑、投影仪、教学PPT。

2.软件资源：数学软件（如Mathematica、Geogebra等），用于展示二项式定理的动态效果。

3.课程平台：学校在线教育平台，用于发布教学资料和课后作业。

4.信息化资源：二项式定理相关的教学视频、在线互动习题。

5.教学手段：多媒体课件展示、实物演示（如使用骰子模拟二项式概率实验）、小组讨论、板书演示。

教学过程

一、导入新课

（教师）同学们，我们之前学习了排列和组合，它们在解决实际问题中有着广泛的应用。今天，我们将继续探索数学的奥秘，学习一个新的重要定理——二项式定理。那么，什么是二项式定理呢？它又将如何帮助我们解决数学问题呢？让我们一起走进今天的课堂。

二、新课讲授

1.二项式定理的提出

（教师）同学们，我们先来回顾一下二项式展开式。比如，$(a+b)^2$可以展开为$a^2+2ab+b^2$。那么，对于更高次的二项式，如$(a+b)^3$、$(a+b)^4$，它们应该如何展开呢？

（学生）$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$，$(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$。

（教师）很好，同学们已经能够正确地展开这些二项式。接下来，我们将探究二项式定理，它将告诉我们如何快速地展开任意次二项式。

2.二项式定理的推导

（教师）现在，我们来推导二项式定理。首先，我们观察$(a+b)^2$的展开式，可以发现每一项都是$a$和$b$的幂次之和为2的项。那么，对于$(a+b)^n$，我们应该如何展开呢？

（学生）我们可以类比$(a+b)^2$的展开，将$(a+b)^n$展开为$n$项之和，每一项都是$a$和$b$的幂次之和为$n$的项。

（教师）很好，这是一个很好的思路。现在，让我们来推导二项式定理。

（教师板书）$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^ka^{n-k}b^k$

（教师）这里，$C_n^k$表示从$n$个不同元素中取出$k$个元素的组合数，也就是排列数。现在，我们要证明这个公式是正确的。

（教师）首先，我们可以通过数学归纳法证明这个公式。当$n=1$时，$(a+b)^1=a+b$，公式成立。假设当$n=k$时，公式成立，即$(a+b)^k=\sum_{i=0}^{k}C_k^ia^{k-i}b^i$。那么，当$n=k+1$时，$(a+b)^{k+1}=(a+b)^k(a+b)$。

（教师板书）$(a+b)^{k+1}=\sum_{i=0}^{k}C_k^ia^{k-i}b^i(a+b)=\sum_{i=0}^{k}C_k^ia^{k+1-i}b^i+\sum_{i=0}^{k}C_k^ia^{k-i}b^{i+1}$

（教师）现在，我们需要证明这两个求和式分别等于$C_{k+1}^i$和$C_{k+1}^{i+1}$。

（教师）通过观察，我们可以发现，第一个求和式中