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第二章 【填空题】6*.设从总体x～N(0、σ)中分别，从中抽取样本x1、x2、x3、x4、x5、x6,记 Y= (x1+x2+x3)2+(x4+x5+x6)2记 试确定常数C = 13σ2，使随机变量CY服从x2分布，并求x2分布的自由度为 解: 设x～N（0、1） x1、x2、x3、…、xn x～N（0、σ2） =﹥ xi～N （0、σ2）i=1、2、3、…、5 =﹥xia ～ N （0、 =﹥ x1σ + x2σ + x3 =﹥13a (x1+ x2 + x3) ～N （0、 同理 13a (x4+ x5 + x6) ～N （0、 13σ2 (x1+ x2 + x3)2+13σ2 (x4+ x5 + x6)2 即 13σ2 Y～x2 C=1 【填空题】8*.从总体N(5、4)中抽取容量为25的样本，求样本均值落在区间（4.7、5.5）内的概率为（0.6678）。(P53 参考P44 例3) 解:由题意，样本容量n=25，总体x～N （5、4），于是，μ=E（x）=5，σ2=D(x)=22 由于μ=x-μσn ～ 即 x-525 所以 P｛4.7﹤x﹤5.5﹜ =﹥ = P｛4.7-525 ﹤ x-525 = P｛-0.75﹤ μ ﹤ 1.25 ﹜ = ￠(1.25)- ￠(-0.75) = ￠(1.25)+￠(0.75)-1 查附表1，标准正态分布表 = 0.8944+0.7734-1 = 0.6678 【填空题】13*.设从总体X～N(μ、9)，从总体X中抽取容量为16的样本，样本方差为S2, 求P｛S2﹤16.5｝ (P54 参考P46 例4) 解: 由题意，由X～N（μ、9）、N=16 根据x2 = （n-1）S2 即 15S29 P｛S2﹤16.5｝ =﹥P｛15S29 =1- P｛15S29 =0.975 【填空题】15*.设随机变量X与Y互相独立，且X～N(μ、σ2)，Y/σ2～X2(n)， 证明：t=x-μYn ～ t(n) (P54 第三章 3.设总体X服从参数为θ的指数分布，即X的概率函数为 F（x）= 1θe 0 ,x﹤0 其中θ﹥0为未知参数，又设X1、X2、…、Xn为X的一个样本，求θ的矩估计量和最大似然估计量。(P98 参考P56 例1或P63 例10) 解:1、由于μ1=E(x)= θ，令 μ1=A1 θ = 1n θ的矩估计量为θ = X 2、由于x1 ﹥ θ，所以似然函数为θn L(θ)=i=1nf（xi ln L（θ)=-n lnθ 令 dlnθd 解得θ的最大似然估计值为θ=1θi=1 13.设总体X的均值和方差都在，x1、x2、x3是来自总体x的样本，证明估计量 μ 1= 23 x1+ 16 x 2+ 16 μ 2= 14 x 1+ 18 x 2+ μ 1= 17 x 1+ 314 x 2+ 914 都是总体均值E(X)的无偏估计，并判断哪一个估计量更有效。(P99 参考P67 例1或P68 例2) 解: 1、E(μ1) =（23 x1+ 16 = 23 x1 + = 23μ + 16μ + = μ 同理 E(μ2) =μ、E(μ3) =μ 故E(μ1) = E(μ2) = E(μ3) =μ 这就证明μ1、μ2、μ3都是μ的无偏估计量。 2、D(μ1) = D（2 = D（23 x1 = 49 Dx1 + 136 Dx2 + 1 = 49σ2+ 136σ2+ 1 = 0.50σ2 同理 D(μ2) =0.4696σ2、D(μ3) =0.480σ2 故D(μ1) ﹥ E(μ3) ﹥ E(μ2) 所以μ2估计量最有效。 【填空题】22*.由两台机床生产同一型号的滚珠，已知所生产滚珠直径X、Y都服从正态分布X～N（μ1、0.04），Y～N（μ2、0.09）。现从这两台机床的产品中分别独立抽取16个和25个，测得滚珠的平均直径分别为x=14.8（mm）和y=15.2（mm），试求μ1-μ2的置信度为0.95的置信区间为（-0.533、-0.247）。(P100 参考P86 例X) 解:由题设可知n1=16、n2=25、x = 14.8、y = 15.2、σ2=0.09、a=0.05 查表1标准正态分布表，得μa2 =μ0.025 = 1.96 ,从而可得μ1-μ1 （x-y - μa2 σ12n1+ =（14.8-15.2- 1.96× 0.0416+0.0925 ，14.8-15.2+1.96× 解得 =（-0.533 ，-0.247） 由于-0.247﹤0，因此以0.95的置信度认为μ1