博弈论与经济模型第7章.doc

第七章重复博弈

7.1启发性例子

博弈论中最为著名的模型大概是第二章中介绍的“囚徒困境”模型，它告诉我们一个局中人之间非合作的故事。按照博弈论中关于局中人为理性人的假定：“囚徒困境”中局中人之间的不合作似乎是必然的结果。但是，从另一方面看，现实生活中存在着诸多的合作现象，并且，对于经济学家来说，制度的形成及演化必定需要合作行为作为其基础。因此，研究在一个长期环境中合作是否和怎样得以维持是非常重要的。更为一般地，如果博弈是重复进行的，其结果是不是有所不同呢？当“囚徒困境”中的小偷在出狱后还会再次联合作案时，他们就不得不考虑今次出卖同伙会在今后受到同伙惩罚的可能，因而其选择“坦白”的战略就增加了一个额外的成本。我们要探求的是在什么样的条件下，在他们两个人之间的长期关系会有助于他们之间的合作。

表7.1囚徒困境

2

抵赖

坦白

1

抵赖

-1，-1

0,10

坦白

10,0

-8，-8

在性别战博弈中（见表7.2，其中表示“足球”，B表示“芭蕾”），和都是纳什均衡，并且分别给出收入或者支付向量和（还有第三个纳什均衡，但它给出一个较低的总期望收入）。如果这个博弈重复进行许多次，可不可达到（和在各个时期交替出现，得到期望收入？或者，我们是否能达到对于任意的支付向量）？这些就是我们需要回答的问题。

表7.2性别战（其中表示“足球”，表示“芭蕾”）

2

F

B

1

F

2,1

0,0

B

0,0

1,2

我们将只讨论无限次重复博弈的情形。有两个理由使得我们这样做：首先，关于有限次重复博弈，如果阶段博弈只有一个纳什均衡，假定局中人极大化每个时期获得收入的贴现和，则重复博弈也只有一个平凡的完美纳什均衡，即阶段博弈纳什均衡的重复。这意味着在有限次合伙作案中，囚徒们每次被逮住都会如实招供的。所以，此时重复博弈并不能带来合作。

其次，我们认为一个长久且有着确定性结束时刻的关系是相当不现实的。当然，在现实生活中，博弈应该说都是有限次的，但若局中人不知道博弈会在什么时候结束，每一次阶段博弈之后都有可能再一次博弈，此时局中人实际上认为博弈是可能进行无限次的（考虑到博弈必定会结束，需要进行一定的贴现以反映这种考虑）。无限次重复博弈正是对这种情况的一种分析方法。

许多重复博弈文献都集中于研究重复博弈到底可支持什么样的收入向量作为均衡结果。然而，这些文献也对于维持这样的收入向量所需要的战略结构给出了启发性的线索。例如，为了实现一个收入向量通常需要局中人在阶段博弈中的行动从阶段博弈本身看是非最优的。因此，为了保证局中人按照均衡战略进行行动选择，让他们受到严厉的惩罚以使得他们不会偏离均衡是十分重要的。但是，为了使这种惩罚变得可以置信，我们还需要或者对于未执行惩罚的惩罚者进行惩罚，或者对执行了惩罚的惩罚者进行奖励。关于重复博弈的研究有助于我们理解那些确保长期合作的社会规范或社会制度。

7.2准备知识

考虑一个有限战略式博弈（有限个局中人及每一个局中人的行动空间是有限的）。通常，我们定义。我们称这个博弈为阶段博弈。考虑一个有着可观察行动的重复博弈，它具有下述特征。在每一个离散时期，进行的是阶段博弈，并且前面阶段选择的行动是可以观察到的。每一个局中人的偏好用在无限效用收入流上的一个偏好序来表示——我们将对其加以简短的讨论。

在时期的行动选择用表示，。在时期的一个历史用表示，它是对于过去所选择行动的一个完整的描述，即,其中令。时期的历史的集合为，。令。所有历史的集合是

一个历史被称为是终点的（terminal），当且仅当其为无限的。换句话说，一个终点历史具有这样的形式。

当我们说阶段博弈在时期进行时，我们的意思是在任意的非终点历史之后，每一个局中人同时在中选择一个行动。对于这个重复博弈来说，的一个纯战略是一个函数，它将每一段历史对应于中的一个行动，其中,…。即

用表示的可选择的纯战略集合。

局中人的一个混和战略是中的一个元素，是上概率分布密度的集合。但是，为了使其更加具有可操作性，我们用稍许不同的方式来定义混和战略：一个混和战略是一个函数，它将每一段历史对应于上的一个概率分布密度，其中，。

用表示局中人的所有混和战略的集合（尽管混和战略的两种定义是等价的，但我们发现对于我们要做的事情来说，第二种定义更加有用一些）。

一个战略组合导出一个终点历史，而一个混和战略组合在各终点历史上规定了一个概率分布密度。

由于终点历史是无限的历史，并且每一个时期的收入是来自阶段博弈的收入，我们必须就局中人如何评价无限收入流）以及这些无限收入流的期望值进行描述。在文献中经常提到的主要收入或支付函数有三种：平均极限，超越和折现。平均极限和超越刻画了有耐心的局中人的偏好。下面给出平均收入函数极限

(7.1)

因此，局中人并不关心