2024北京中关村中学高二（下）期中数学试题及答案.docx

试题

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试题

2024北京中关村中学高二（下）期中

数学

2024.4

本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.

第一部分（共40分）

一、选择题，本部分共10题，每题4分，共40分.在每题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项.

1.已知集合，则（）

A. B. C. D.

2.下列函数的求导正确的是（）

A. B. C. D.

3.已知函数，则函数的极小值点为（）

A.或 B. C. D.

4.函数的图象大致是（）

A.B.C.D.

5.如图，在三棱锥中，两两垂直，且，点E为中点，若直线与所成的角为，则三棱锥的体积等于（）

A. B. C.2 D.

6.已知函数若对于任意都有，则实数的范围是（）

A. B. C. D.

7.已知直线与圆交于A，B两点，且为等边三角形，则m的值为（）

A. B. C. D.

8.一个小球作简谐振动，其运动方程为，其中(单位：是小球相对于平衡点的位移，(单位：)为运动时间，则小球的瞬时速度首次达到最大时，（）

A.1 B. C. D.

9.已知等比数列满足，记，则数列（）

A.有最大项，有最小项 B.有最大项，无最小项

C.无最大项，有最小项 D.无最大项，无最小项

10.已知数列满足，.给出下列四个结论：

①数列每一项都满足；

②数列的前n项和；

③数列每一项都满足成立；

④数列每一项都满足.

其中，所有正确结论的序号是（）

A.①③ B.②④ C.①③④ D.①②④

第二部分（共110分）

二、填空题，本题共5小题，每题5分，共25分．

11.双曲线的实轴长为______，渐近线方程为______．

12.在复平面内，复数对应点的坐标为，则的虚部为__________,______．

13.已知数列的前项和为，若，则______，数列的前项和______．

14.已知等边的边长为，分别是的中点，则_______；若是线段上的动点，且，则的最小值为_______．

15.已知函数的部分图像如图所示．

（1）函数的最小正周期为______．

（2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若函数为偶函数，则的最小值是______．

三、解答题，本题共6小题，共85分，请将答案写在答题卡相应位置．

16.已知数列的前项和为，且满足．

（1）若成等比数列，求的值；

（2）若数列为等比数列，，求数列的前项和．

（3）设，直接写出数列的最小项．

17.在中，．

（1）求角的大小；

（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积．

条件①：；条件②：；条件③：．

注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

18.如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，，.

（1）求证：；

（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度.

19.已知函数，其中．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）当时，求函数在上的最大值；

（3）当时，求函数的单调区间；

（4）证明：当时，函数有且仅有一个零点．

20.已知椭圆：的一个焦点为，且过点.

（1）求椭圆的方程和离心率；

（2）过点且与轴不重合的直线与椭圆交于，两点，与直线交于点，点满足轴，轴，试求直线的斜率与直线的斜率的比值.

21.集合，集合，若集合中元素个数为，且所有元素从小到大排列后是等差数列，则称集合为“好集合”．

（1）判断集合是否为“好集合”；

（2）若集合是“好集合”，求的值．

参考答案

第一部分（共40分）

一、选择题，本部分共10题，每题4分，共40分.在每题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项.

1.【答案】C

【分析】分别求解不等式和，得到集合,再求其并集即得.

【详解】由可得，则得；

由可得，则得,

故

故选：C.

2.【答案】B

【分析】根据基本初等函数的导数公式和复合函数的求导法则，可对选项一一判断即得.

【详解】对于A项，因，故A项错误；

对于B项，，故B项正确；

对于C项，，故C项错误；

对于D项，，故D项错误.

故选：B.

3.【答案】D

【分析】由原函数求导，判断函数单调性，即可分析得出其极小值点.

【详解】由求导得，，因，由可得或，

当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增；

故在处取得极大值,在处取得极小值.

即函数的极小值点为.

故选:D.

4.【答