2024北京北师大实验中学高二（下）期中数学试题及答案.docx
试题
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试题
2024北京北师大实验中学高二（下）期中
数学
班级____________姓名____________学号____________成绩____________
考生须知：
1.本试卷共4页,共三道大题,21道小题,答题卡共4页,满分150分,考试时间120分钟.
2.在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号.
3.试卷答案一律填写在答题卡上,在试卷上作答无效.
4.在答题卡上,选择题须用铅笔将选中项涂黑涂满,其他试题用黑色字迹签字笔作答.
一、选择题（本大题共10小题,每小题4分,共40分)
1.已知等差数列中,,则
A.8 B.9 C.12 D.18
2.已知数列的前项和,则
A.16 B.32 C.48 D.64
3.下列函数中,图像存在与轴平行的切线的是
A. B. C. D.
4.函数的导函数为
A: B. C. D.
5.已知均为等比数列,则下列各项中不一定为等比数列的是
A. B. C. D.
6.已知数列满足:.若,则
A. B. C. D.
7.已知为无穷等差数列,则“存在且,使得”是“存在且,使得”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
8.记,则
A. B. C. D.
9.已知函数,记,下列说法中正确的是
A.在上单调递增 B.在上单调递减
C.在上单调递增,在上单调递减
D.在上单调递减,在上单调递增
10.已知函数,下列说沖不正确的是
A.若,则在上单调递增 B.若0为的极大值点,则
C.的图像经过一个定点 D.若,则方程有三个不相等的实数根
二、填空题(本大题共5小题,、每小题5分,共25分)
11.已知等比数列中,,则的公比为___________.
12.若函数在区间[1,4]上的平均变化率恰等于其在处的瞬时变化率,则___________;___________.
13.设等差数列的公差为,前项和为,已知.
(1)若,则___________;
(2)若,则的最小值为___________.
14.已知函数,则的极大值为___________;的单调递减区间为___________.
15.设为无穷数列,记,其中为常数且.给出下列四个结论:
①若,则为单调递增数列;
②若,则为单调递减数列;
③若,则对任意且均存在最大项;
④若,则对任意且均存在最小项.
其中所有正确结论的序号是____________.
三、解答题(本大题共6小题,共85分)
16.(本小题满分14分)
已知函数.
(I)求在处的切线方程;
(II)求的单调区间和极值.
17.(本小题满分13分)
已知数列满足:,且对任意,都有.
(I)直接写出的值;
(II)猜想的通项公式,并用数学归纳法证明.
18.(本小题满分15分)
已知为等差数列,为等比数列,.
(I)求和的通项公式;
(II)求的前项和;
(III)若对任意,有恒成立,求实数的最小值.
19.(本小题满分13分)
某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状,计划再修建一条连接两条公路、贴近山区边界的直线型公路.记两条相互垂直的公路为,山区边界曲线为,计划修建的公路为,如图所示.已知M,N为的两个端点,点到的距离分别为20千米和5千米,点到的距离分别为4千米和25千米,分别以所在的直线为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy.假设曲线符合函数（其中a,k为常数）模型.
(I)求a,k的值；
(II)设公路与曲线相切于点,点的横坐标为.
①求公路所在直线的方程；
②当为何值时,公路的长度最短?求如最短长度.
20.(本小题满分15分)
已知函数.
(I)当时,求的零点;
(II)讨论在[1,e]上的最大值;
(III)是否存在实数,使得对任意,都有?若存在，求的取值范围;若不存在,说明理由.
21.(本小题满分15分)
若项数为的数列满足:,且存在,使得则称数列具有性质.
(I)①若,写出所有具有性质的数列;
②若,写出一个具有性质的数列;
(II)若,数列具有性质,求的最大项的最小值;
(III)已知数列均具有性质,且对任意,当时,都有.记集合,求中元素个数的最小值.
参考答案
一、选择题（每小题4分,共40分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
A
D
A
A
B
C
B
D
二、填空题（每小题5分,共25分)
题号
1
2
3
4
5
答案
②③④
三、解答题（共35分）
16.解:(I)的定义域为.
因此,在处的切线方程为:.
化简得.
(II),
令,解得或3.
当变化时,的变化情况如