1.1空间向量及其运算（原卷版）.docx
1.1空间向量及其运算
题型汇总
题型1：空间向量的概念
例1.下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（????）
①任一向量与它的相反向量都不相等；
②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；
③平行且模相等的两个向量是相等向量；
④若，则；
⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同．
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式1-1】下列说法正确的是（????）
A．若a=b，则或
B．若为相反向量，则
C．零向量是没有方向的向量
D．若是两个单位向量，则
【变式1-2】下列命题是真命题的是（????）
A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B．的充要条件是A与C重合，B与D重合
C．若向量满足，且与同向，则
D．若两个非零向量与满足，则
题型2：空间向量的线性运算：加法与减法
例2.如图，E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点、化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：
（1）；????????（2）；
（3）；????????（4）．
【变式2-1】在图中，用，，表示，及．
【变式2-2】设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且,则四边形ABCD是()
A．空间四边形 B．平行四边形
C．等腰梯形 D．矩形
【变式2-3】如图，已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量；
（1）；????????
（2）；
（3）．
题型3：空间向量的线性运算：数乘运算
例3.如图，正方体的棱长为1，设，，，求：
（1）；（2）；（3）．
【变式3-1】已知空间向量，，，化简.
【变式3-2】如图，已知正方体，E，F分别是上底面和侧面的中心，求下列各式中x，y的值：
（1）????
（2）
（3）
【变式3-3】如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，则与相等的向量是（????）
A． B．
C． D．
题型4：空间向量共线、共面问题
例4.1.证明：如果向量，共线，那么向量与共线．
例4.2.已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量法证明：E，F，G，H四点共面.
【变式4-1】已知向量，，且，，，则一定共线的三点是（????）
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
【变式4-2】有下列说法:
①若，则与，共面；
②若与，共面，则=x+y；
③若=x+y，则P，M，A，B共面；
④若P，M，A，B共面，则=x+y.
其中正确的是（????）
A．①②③④
B．①③④
C．①③
D．②④
【变式4-3】已知，，是不共面向量，=2-+3，=-+4-2，=7+5+λ，若，，三个向量共面，则实数λ等于.
题型5：数量积的概念及其运算
例5.如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于a，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点．求：
（1）AB?AC；????（2）；????（3）；????（4）EF?
（5）；????（6）．
【变式5-1】（多选）设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（????）
A． B．
C． D．
【变式5-2】已知棱长为1的正方体的上底面的中心为，则的值为（????）
A． B．0 C．1 D．2
【变式5-3】已知向量，满足，，且.则在上的投影向量的坐标为.
题型6：利用空间向量的数量积解决向量夹角问题
例6.在正三棱柱中，若，则与所成的角的大小是（????）
A． B． C． D．
【变式6-1】若空间四边形的四个面均为等边三角形，则的值为
A． B． C． D．0
【变式6-2】如图，在正方体中，求向量与的夹角的大小．
【变式6-3】已知空间向量满足，，则与的夹角为（????）
A．30° B．45°
C．60° D．以上都不对
【变式6-4】已知向量，且，，，则使向量与的夹角为钝角的实数的取值范围是．
题型7：利用空间向量的数量积解决距离或长度问题
例7.如图，在平行六面体中，，，，，．求：
（1）；????（2）的长；????（3）的长．
【变式7-1】已知矩形中，，，将矩形沿对角线折起，使平面与平面垂直，则（????）．
A． B． C． D．2
【变式7-2】如图，线段AB，BD在平面内，，，且，，．求C，D两点间的距离．
【变式7-3】如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，．
(1)求线段的长；
(2)求异面直线与所成角的余弦值；
题型8：利用空间向量的数量积解决垂直问题
例8.如图，空间四边形中，.求证：.
【变式8-1】用向量方法证明：在平面内的一条直线，如果与这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也与这条直线垂直（三垂线）
【变式8-