2024—2025学年上海市虹口区九年级上学期期末数学试卷（一模）.doc

2024—2025学年上海市虹口区九年级上学期期末数学试卷（一模）

一、单选题

(★★)1.下列各组图形中，一定相似的是（）

A．两个菱形

B．两个正方形

C．两个三角形

D．两个等腰三角形

(★★)2.在中，已知，，，那么的正切值为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)3.已知非零向量、和，下列条件中，不能判定的是（）

A．

B．，

C．

D．，

(★★)4.已知、和都在抛物线上，那么、和的大小关系为（）

A．

B．

C．

D．

(★★)5.已知抛物线如图所示，下列结论中，正确的是（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)6.如图，已知，联结，交于点，联结，，如果，，那么长为（）

A．1

B．2

C．3

D．4

二、填空题

(★)7.已知线段是线段、的比例中项，，，那么______．

(★)8.计算：_______．

(★)9.已知是二次函数，那么的值是________．

(★)10.抛物线与轴的交点是_______．

(★★)11.如果抛物线有最高点，那么的取值范围是_______．

(★★)12.已知抛物线在轴右侧的部分是下降的，且经过，请写出一个符合上述条件的抛物线表达式是________．

(★★)13.如图，直线，如果，，那么长______．

(★★)14.已知，且和的最长边分别是5和，如果的面积是6，那么的面积是_______．

(★★)15.如图，在中，点、分别在边、上，连接、，如果，，，，用、表示_______．

(★★★)16.如图，正方形的顶点、在轴上，点、恰好在抛物线上，那么正方形的面积是________．

(★★★)17.如图，在中，，，，是上的动点，将沿翻折，如果点落到内（不包括边），那么的取值范围是_______．

(★★★★)18.过三角形的重心作一条直线与这个三角形两边相交，如果截得的三角形与原三角形相似，那么我们把这条直线叫做这个三角形的“重似线”，这条直线与两边交点之间的线段叫做这个三角形的“重似线段”．如图，在中，，，，点、分别在边、上，如果线段是的“重似线段”，那么_______．

三、解答题

(★★★)19.计算：．

(★★★)20.在平面直角坐标系中，抛物线经过点．

(1)求的值以及抛物线的对称轴；

(2)将该抛物线向右平移个单位后得到新抛物线，如果新抛物线经过原点，求的值．

(★★★)21.如图，在中，，，，点、在的延长线上，连接、，且．

(1)求的值；

(2)如果，求的长．

(★★)22.如图，在中，，点在边上，过点作垂直交于点，连接、交于点．

(1)求证：；

(2)如果，求证：．

(★★★)23.根据以下素材，完成任务．

探究淋浴喷头的位置

素材1

图1是一种淋浴喷头，淋浴喷头固定器装在升降杆上的某处，手柄与固定器的连接处记为点（点与墙之间的距离忽略不计）．图2视作淋浴喷头喷水后的截面示意图，线段为手柄，射线为水流，与的夹角为，手柄与墙的夹角为淋浴喷头的“调整角”，记为．已知长为．

素材2

图3中的矩形是淋浴房的截面图，，．为了方便在淋浴房里淋浴，规定淋浴时，人一直站在处，．

素材3

我们把人竖直站立时，头顶以下处记为这个人的“舒适喷淋点”，即“舒适喷淋点”到地面的距离等于人的身高减．已知小明的身高是，他爸爸和妈妈的身高分别是和．某次爸爸洗澡时，将淋浴喷头固定器调整至如图12的点处，“调整角”为，此时水流正好喷在爸爸的“舒适喷淋点”处（即爸爸身高-30）．

素材4

参考数据：，，，．

问题解决

任务一

（1）求图3中，淋浴喷头手柄与固定器的连接处点到地面的距离．

任务二

（2）爸爸洗完澡后，不改变固定器的位置（即不变），把淋浴喷头的“调整角”调整至，然后小明进淋浴房洗澡．①小明发现水流无法喷在他的“舒适