人教版新课程标准高中数学选修-5.3 导数在研究函数中的应用 (20)教学课件幻灯片PPT.pptx

5.3.1函数的单调性

函数单调性的判定

问题1：

我们发现，根据结论，我们没办法判断出最后的正负，因此，学习导数法势在必行

从左图到右图：在区间(0,a)内，h(t)是单调递增的，相应地，v(t)=h(t)0在区间(a,b)内，h(t)是单调递减的，相应地，v(t)=h(t)0从右图到左图：当t∈(0,a)内，h(t)0，函数h(t)在区间(0,a)内单调递增当t∈(a,b)内，h(t)0，函数h(t)在区间(a,b)内单调递减这两方面表明：函数的单调性与导数的正负有内在联系，据此可利用导数的符号来判断函数的单调性那么这个结论有一般性吗？

一般地，函数f(x)的单调性与导数f(x)的正负之间有如下关系：在某个区间(a,b)内，如果f(x)0，那么函数f(x)在区间(a,b)内单调递增如果f(x)0，那么函数f(x)在区间(a,b)内单调递减

C

知识回顾：函数的单调性与其导数的关系1、在某个区间(a,b)上,如果f(x)0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增;在某个区间(a,b)上,如果f(x)0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减.定义域的子集3、在区间(a,b)内,若f(x)0,则f(x)在此区间上单调递增,反之也成立吗?2、如果函数f(x)在某个区间上恒有f(x)=0,那么函数f(x)有什么特性?

求函数y=f(x)的单调区间的步骤1、确定函数y=f(x)的定义域2、求导数f(x)3、解不等式f(x)0,函数在解集与定义域的交集上为增函数解不等式f(x)0,函数在解集与定义域的交集上为减函数

探究一求含参数的函数的单调区间【例1】讨论函数f(x)=的单调性.

【变式1】讨论函数的单调性.

【变式2】讨论函数的单调性.

探究二已知函数单调性求参数的值或范围例2已知函数f(x)=x3-ax-1为增函数,求实数a的取值范围.解由已知得f(x)=3x2-a,因为f(x)在(-∞,+∞)内是增函数,所以f(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)内恒成立,即a≤3x2对x∈R恒成立.所以a≤0..所以实数a的取值范围为(-∞,0].

变式1若函数f(x)=x3-ax-1的单调递减区间为(-1,1),求实数a的值.

变式2若函数f(x)=x3-ax-1在(-1,1)上单调递减,求实数a的取值范围.

变式3若函数f(x)=x3-ax-1在(-1,1)上不单调,求实数a的取值范围.

解∵f(x)=x3-ax-1,∴f(x)=3x2-a.由题意可知f(x)=3x2-a0在区间(-1,1)上有解,即a3x2在区间(-1,1)上有解,因此a(3x2)min.由于y=3x2在区间(-1,1)上的最小值为0,因此a0.故实数a的取值范围是(0,+∞).变式4若函数f(x)=x3-ax-1在区间(-1,1)上存在单调递减区间,求实数a的取值范围.

规律方法利用函数的单调性求参数,常用方法如下:1函数f(x)在区间D上单调递增?f(x)≥0在区间D上恒成立2函数f(x)在区间D上单调递减?f(x)≤0在区间D上恒成立3函数f(x)在区间D上不单调?f(x)在区间D上存在异号零点4函数f(x)在区间D上存在单调递增区间??x0∈D,使得f(x0)0成立5函数f(x)在区间D上存在单调递减区间??x0∈D,使得f(x0)0成立6若已知f(x)在区间D上的单调性,区间D上含有参数时,可先求出f(x)的单调区间,令D是其单调区间的非空子集,从而求出参数的取值范围

1.函数f(x)=x3-x2-3x+2的单调递增区间是.?答案(-∞,-1),(3,+∞)解析f(x)的定义域为R,f(x)=x2-2x-3,令f(x)0,解得x-1或x3,故f(x)的单调递增区间是(-∞,-1),(3,+∞).课堂练习

2.函数f(x)=x3+2x2+mx+1在(-∞,+∞)内单调递增,则实数m的取值范围是()A

答案（-2，0）

1.知识清单:(1)函数的单调性与其导数的关系.(2)利用导数判断或证明函数的单调性.(3)利用导数求函数的单调区间.2.方法归纳:转化法,数形结合、分类讨论.3.常见误区:(1)容易忽略定义域的限制;(2)当单调区间不止一个时,连接符号易出错;(3)易疏忽求单调区间问题中区间的开闭情况.要点归纳