上海市进才中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题.docx
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上海市进才中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知集合，则
2．函数的定义域是.
3．在中，是的中点.若，，则．
4．若的展开式中含有常数项，则正整数的最小值为．
5．已知圆内有一点经过点的直线与圆交于两点，当弦恰被点平分时，直线的方程为
6．当时，的最小值为．
7．已知随机变量，若，则.
8．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”，已知函数在上为“局部奇函数”，则实数的最小值为.
9．某羽毛球超市销售4种品牌（品牌，，，）的羽毛球，该超市品牌，，，的羽毛球的个数的比例为，品牌，，，的羽毛球的优品率分别为0.8，0.9，0.7，0.6．若甲不买这4个品牌中的1个品牌的羽毛球，他从其他3个品牌的羽毛球中随机选取1个购买，已知他买到的羽毛球为优品的概率大于0.8，则可推测他不买的羽毛球的品牌为（填入，，，中的1个）．
10．已知函数，给出下列三个结论：
①当时，函数的单调递减区间为；
②若函数无最小值，则的取值范围为；
③若且，则，使得函数.恰有3个零点，，，且．
其中，所有正确结论的序号是．
11．在中，在边上（与不重合），延长到，使得，若（为常数），则的长度是．
12．在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点．若，下面四个结论：
①开口向上的抛物线的方程为；
②；
③直线截第一象限花瓣的弦长的最大值为；
④阴影区域的面积大于，
上述结论中所有正确的序号是．
二、单选题
13．“”是“”的（???）条件
A．充要 B．充分非必要
C．必要非充分 D．既非充分也非必要
14．已知、、是三个不同的平面，、是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（???）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
15．已知函数，数列满足，且数列是单调递增数列，则的取值范围是（???）
A． B． C． D．
16．设函数，若对任意，，则实数的取值范围是（????）
A． B． C． D．
三、解答题
17．棱锥中，平面平面，，，是棱的中点.
(1)证明：平面;
(2)求二面角的余弦值.
18．已知复数，（，为虚数单位）.
(1)若，且，求与的值；
(2)设复数在复平面上对应的向量分别为，若，且，求的最小正周期和严格减区间.
19．某甜品店打算推出三款新品，在前期市场调研时，将顾客按照年龄分为青少年组中年组和老年组，随机调查了名顾客对这三款新品的购买意愿，统计数据如下（单位：人）：
青少年组
中年组
老年组
愿意
不愿意
愿意
不愿意
愿意
不愿意
第一款
第二款
第三款
假设顾客的购买意愿相互独立.用频率估计概率.
(1)从顾客中随机抽取人，估计该名顾客愿意购买第一款新品的概率；
(2)从三个不同年龄组的顾客中各随机抽取人，记为这人中愿意购买第二款新品的人数，求的分布列和数学期望；
(3)用“”表示顾客愿意购买第款新品，“”表示顾客不愿意购买第款新品．写出方差、、的大小关系并说明理由．
20．设常数且，椭圆：，点是上的动点．
(1)若点的坐标为，求的焦点坐标；
(2)设，若定点的坐标为，求的最大值与最小值；
(3)设，若上的另一动点满足（为坐标原点），求证：到直线PQ的距离是定值．
21．已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，函数存在零点，且，求符合条件的所有整数的值；
(3)当时，记函数的零点为，若对任意且，都有成立，求实数的最大值．
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《上海市进才中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题》参考答案
题号
13
14
15
16
答案
B
D
A
A
1．
【分析】根据交集的概念与运算即可得到结果.
【详解】∵集合，
∴.
故答案为：
2．
【分析】由解析式有意义可得，解