2024_2025学年新教材高中数学第二章函数3第3课时函数的最值练习含解析北师大版必修第一册.doc

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第3课时函数的最值

水平1

1．若对随意x∈I，都有f(x)≤M，则M是函数f(x)的最大值．()

2．一个函数可能有多个最小值．()

3．假如函数有最值，则最值肯定是其值域中的一个元素．()

4．假如函数的值域是确定的，则它肯定有最值．()

5．因为不等式x2－1总成立，所以－1是f(x)＝x2的最小值．()

【解析】1.提示：×.M是存在的，并且?x0∈I，使得f(x0)＝M.前者是后者的必要不充分条件．

2．提示：×.最大(小)值至多有1个．

3．√.

4．提示：×.值域确定，但不肯定有最值．

5．提示：×.f(x)＝x2的最小值为0.

·题组一用图象法求函数的最值

1．若函数y＝x2－4x的定义域为[0，m]，值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－4，0))，则实数m的取值范围是()

A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2，4)) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，4))

C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，2)) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，＋∞))

【解析】选A.f(x)＝(x－2)2－4，x＝2时，f(x)取得最小值－4，f(0)＝f(4)＝0，由f(x)在[0，m]上的值域为[－4，0]得，2≤m≤4.

2．若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值

为()

A．2 B．1

C．－1 D．无最大值

【解析】选B.在同一坐标系中画出函数y＝2－x2，y＝x的图象，如图：

依据题意，图中实线部分即为函数f(x)的图象．

所以当x＝1时，f(x)max＝1.

·题组二用单调性求函数的最值

1．函数y＝x－eq\f(1,x)在[1，2]上的最大值为()

A．0 B．eq\f(3,2)

C．2 D．3

【解析】选B.因为函数y＝x－eq\f(1,x)在[1，2]上单调递增，所以ymax＝2－eq\f(1,2)＝eq\f(3,2).

2．设函数f(x)＝eq\f(2x,x－2)在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M，m，则

eq\f(m2,M)＝()

A．eq\f(2,3) B．eq\f(3,8)

C．eq\f(3,2) D．eq\f(8,3)

【解析】选D.易知f(x)＝eq\f(2x,x－2)＝2＋eq\f(4,x－2)，所以f(x)在区间[3，4]上单调递减，所以M＝f(3)＝2＋eq\f(4,3－2)＝6，m＝f(4)＝2＋eq\f(4,4－2)＝4，所以eq\f(m2,M)＝eq\f(16,6)＝eq\f(8,3).

·题组三用换元法或基本不等式求函数的最值

1．函数f(x)＝2x＋eq\r(1－x)的最大值为()

A．2B．eq\f(17,8)

C．eq\f(17,4)D．eq\f(15,8)

【解析】选B.设t＝eq\r(1－x)，则x＝1－t2，t≥0，

所以f(t)＝2(1－t2)＋t＝－2t2＋t＋2，这个二次函数的对称轴为t＝eq\f(1,4)，

所以f(t)＝－2t2＋t＋2在t≥0时的最大值为－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,4)＋2＝eq\f(17,8).

2．若函数f(x)＝x＋eq\f(1,x－2)的定义域为(2，＋∞)，若f(x)在x＝a处取得最小值，则a等于()

A．1＋eq\r(2) B．1＋eq\r(3)

C．3 D．4

【解析】选C.因为f(x)＝x＋eq\f(1,x－2)＝x－2＋eq\f(1,x－2)＋2≥

2eq\r(（x－2）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x－2))))＋2＝4，当且仅当x－2＝eq\f(1,x－2)，即x＝3时取等号．所以f(x)的最小值为4.由题意可得a＝3.

【一题多解】设2＜x1＜x2，

则f(x1)－f(x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(1,x1－2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\a