高考二轮专题复习专题13成对数据的统计分析.docx
专题13成对数据的统计分析
【考情分析】
1.考查特点:(1)统计知识主要考查:抽样方法、样本数字特征、统计图表等,以选择题、填空题形式命题,难度较小;(2)回归分析与独立性检验常与概率交汇命题,也是近年的热点,常出现在第19或20题的位置,以中档题为主.
2.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力、数学建模能力、创新能力.
3.学科素养:数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、数据分析.
【题型一】回归分析在实际问题中的应用
【典例分析】【例1】(2021·长沙统考)某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x(单位：万元)和收益y(单位：万元)的数据如下表：
月份
1
2
3
4
5
6
广告投入量/万元
2
4
6
8
10
12
收益/万元
14.21
20.31
31.8
31.18
37.83
44.67
他们用两种模型①eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，②y＝aebx分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值：
eq\o(x,\s\up6(－))
eq\o(y,\s\up6(－))
eq\o(∑,\s\up11(6),\s\do4(i＝1))xiyi
eq\o(∑,\s\up11(6),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)
7
30
1464.24
364
(1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由.
(2)残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除：
(ⅰ)剔除异常数据后，求出(1)中所选模型的回归方程；
(ⅱ)广告投入量x＝18时，(1)中所选模型收益的预报值是多少？
附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归直线eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))的斜率和截距的最小二乘估计分别为：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up11(n),\s\do4(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－))),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).
【解析】(1)应该选择模型①，因为模型①的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且模型①的带状区域比模型②的带状区域窄，所以模型①的拟合精度高，回归方程的预报精度高.
(2)(ⅰ)剔除异常数据，即3月份的数据后，得
eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)×(7×6－6)＝7.2，
eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)×(30×6－31.8)＝29.64.
eq\o(∑,\s\up11(5),\s\do4(i＝1))xiyi＝1464.24－6×31.8＝1273.44，
eq\o(∑,\s\up11(5),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝364－62＝328.
eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi－5\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－))),\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(1273.44－5×7.2×29.64,328－5×7.2×7.2)＝eq\f(206.4,68.8)＝3，
eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝29.64－3×7.2＝8.04.
所以y关于x的回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝3x＋8.04.
(ⅱ)把x＝18代入(ⅰ)中所求回归方程得eq\o(y,\s\up6(^))＝3×18＋8.04＝62.04，