积分与其路径的无关性.ppt

例：求 其中 为整数 解： 的参数方程为： ，于是 有 §3-2 积分与其路径的无关性 一、复积分与其积分路径无关的条件 二、解析函数的原函数和在积分计算中的应用 三Δ、复闭路定理和闭路变形原理 1. Cauchy积分定理 一、复积分与其积分路径无关的条件 1. 原函数的概念 2. Newton-Leibniz 公式 三、复闭路定理和闭路变形原理 意义 3.典型例题 例4 解 利用分部积分法可得 问题：如果G是复连通区域，那么，定理是否仍然有效？ 那末 证明 A1 A2 A3 A4 C1 C2 E F G I H 当 n 为其它值时，可同样证明。 特殊情况：闭路变形原理 由复合闭路原理 这就是闭路变形原理 解析函数沿闭曲线的积分, 不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值. 在变形过程中曲线不经过函数 f(z) 的不解析的点. 说明： 1.揭示了解析函数的一个性质——在一定条件下，解析函数沿复连通区域边界的积分等于零； 2.提供了一种计算函数沿围线积分的方法． 闭路变形原理： 解析函数积分的积分路径作不经过被积函数奇点的连续变形，其积分值保持不变。 * 解 例 5 (1) 积分路径的参数方程为 y=x (2) 积分路径的参数方程为 y=x y=x (3) 积分路径由两段直线段构成 x轴上直线段的参数方程为 1到1+i直线段的参数方程为 注意1 这和高等数学中的曲线积分与路径无关的关系 ？ 观察上一节最后两例题后发现： 有的函数的积分只依赖于积分路径的起点与终点，而与积分路径的形状无关，而有的函数，其积分不仅与积分路径的起点与终点有关，而且与积分路径的形状还有关． 前一类函数是解析函数．知道 f(z)=1也是解析函数，其积分也只依赖于积分路径的起点与终点，而与积分路径的形状无关． 由此，我们可提出猜想： 解析函数的积分只依赖于积分路径的起点与终点，而与积分路径的形状无关． 命题1 设 和 在单连域D内连续，积分路径C在D内，且记 ，则该积分与在D内的积分路径无关的充要条件为对D内的任何闭路C其积分值I=0。 命题2 设 和 在单连域D内具有连续的一阶导数 和 ，且满足条件 则对D内的任何简单闭路C有 首先介绍高等数学中的Green定理: 柯西积分定理 说明：该定理的主要部分是Cauchy于1825年建立； 它是复变函数理论的基础。 试着证明 Cauchy 积分定理: 由Green公式 该定理的证明如此简单？ 改进的Green定理: 1925年 Cauchy 建立该定理时，对 u, v 加了导数连续性条件；Gaursat 去掉了导数连续性的假设。 Cauchy 积分定理的证明: 由改进的Green公式 注意2 若曲线 C 是区域 D 的边界, 注意1 定理中的 C 可以不是简单曲线. 注意3 定理的条件必须是“单连通区域”. 注意4 定理不能反过来用. 解 例 1 根据Cauchy积分定理, 有 例 2 解 根据Cauchy积分定理得 定理1 Cauchy积分定理 若函数 在简单闭曲线C上及其内部解析，则一定有 Cauchy-Goursat基本定理 若 在单连域D内解析，则对D内的任何闭路有 定理2 复积分与其积分路径的无关性 若函数 在单连域D内解析，则它在D内从定点z0到动点z的积分值与在D内所取路径无关，而只与动点z有关。 D内积分值为z的单值函数,可简记为： (3-2-1) 例 计算积分 解? 因为 ????????????????? 均在复平面上解析， 所以，它们的和在一包含积分路径 ??????? 的单连通区域G内解析，而积分路径 ??????? 是围线， 所以，由定理得　　 ???????????????????????????????? 　　 显然，该例所用方法是最简单的． 原函数之间的关系: 二、解析函数的原函数和在积分计算中的应用 那末它就有无穷多个原函数, 根据以上讨论可知: 证 类似于高等数学的结果，可以得到 由此结论可知: 解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关, 即： 说明: 有了以上定理, 复变函数的积分就可以用与微积分学中类似的方法去计算. 证 根据 Cauchy 积分定理, 例1 解 例2 解 例3 解 *