节曲面及其方程.ppt

内容与学时 例5.试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为 (2) 双叶双曲面 双曲线 椭圆 注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 双曲线 单叶双曲面 双叶双曲面 * 祝同学们在新学期 取得更好的成绩 磨璞见玉 砺剑生辉 时间：2-9，11-14，17-18周每周一和周三（7-8节） 1 .答疑的时间和地点： 地点：教一楼C300答疑室 2.从第二周开始每周周一交作业（分两组轮换交） 15周周三（7-8节），16周周一（7-8节）答疑 第八章 空间解析几何 6学时 第十章 重积分 12学时 第十一章 曲线积分与曲面积分 14学时 第十二章 无穷级数 18学时 第七章 微分方程 14学时 总复习 4学时 第九章 多元函数微分法及其应用 20学时 总计 88学时 第一节、向量及其线性运算 第三节、曲面及其方程 第8章 本章内容： 第二节、数量积 向量积 混合积* 第八章 空间解析几何 与向量代数 第四节、空间曲线及其方程 第五节、平面及其方程 第六节、空间直线及其方程 一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 五、小结及作业 四、二次曲面 一、曲面方程的概念 求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的 化简得 即 说明: 动点轨迹为线段AB的垂直平分面. 引例: 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程. 解:设轨迹上的动点为 轨迹方程. 定义1. 如果曲面S与方程F(x,y,z)=0有下述关系: (1) 曲面S上的任意点的坐标都满足此方程; 则 F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程, 曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形. 两个基本问题 : (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, (2) 不在曲面S上的点的坐标不满足此方程, 求曲面方程. (2) 已知方程时 ,研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ). 故所求方程为 例1.求动点到定点 方程. 特别,当M0在原点时,球面方程为 解:设轨迹上动点为 即 依题意 距离为R的轨迹 表示上(下)球面 . 解 根据题意有 所求方程为 例3. 研究方程 解: 配方得 此方程表示: 说明: 如下形式的三元二次方程(A≠ 0) 都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是 的曲面. 表示怎样 半径为 的球面. 球心为 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹. 例4 方程 的图形是怎样的？ 根据题意有 图形上不封顶，下封底． 解 定义2. 一条平面曲线 二、旋转曲面 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该平面曲线和定 直线分别称为母线和旋转轴. 问题： 如何求旋转曲面方程？ 下面我们主要讨论坐标面上的曲线 绕坐标轴旋转所得旋转曲面的方程。 下面我们重点讨论坐标面上的母线绕坐标轴旋转得的旋转曲面. 故旋转曲面方程为 当绕z轴旋转时, 若点 设 yoz 面上曲线 C: 则有 则有 该点转到 建立yoz面上曲线C 绕z轴旋转所成曲面的方程: 的圆锥面方程. 解:在yoz面上,直线 L的方程为 绕 z 轴旋转时, 圆锥面的方程为 令 两边平方 L 例6.求坐标面xoz上的双曲线 分别绕x 轴和z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕x轴旋转 绕z轴旋转 这两种曲面都叫做旋转双曲面（双叶及单叶）. 所成曲面方程为 所成曲面方程为 yoz面上的椭圆: 绕z轴旋转得旋转椭球面方程: 绕y轴旋转得旋转椭球面方程: 例7. 旋转曲面特点：至少有两个变量的平方项系数相等. 例8. 将yoz平面上的抛物线C: 绕z轴旋转一周所产生的旋转抛物面为: 又如:将yoz平面上的抛物线C: 绕y轴旋转一周所产生的旋转抛物面为: 例9 问方程: 表示什么图形? 解 绕y轴旋转成的右半圆锥面部分。 表示xoy平面上的直线 例10 表示顶点在z轴上(0,0,1)处, 开口向下的旋转抛物面. (0,0,1) 表示什么图形? 解 三、柱面 引例. 分析方程 表示怎样的曲面 . 的坐标也满足方程 解:在xoy面上， 表示圆C, 沿曲线C平行于z轴的一切直线所形成的曲面称为 故在空间 过此点作 圆柱面. 对任意z, 平行z轴的直线l , 表示圆柱面 在圆C上任取一点 其上所有点的坐标都满足此方程, 定义3. 平行定直线并沿定曲线C移动的直线L形成 的轨迹叫做柱面. ? 表示抛物柱面, 母线平行于z轴; 准线为xoy面上的抛物线. z轴的椭圆柱面. ? z轴的平面. ? 表示母线平行于 (且z轴在平面上) 表示母线平行于 C叫做准线,L叫做母线. 一般地,在空间中 柱面, 柱面, 平行于