文档详情

多元函数的Taylor公式与极值问题-南京航空航天大学精品课程.PDF

发布:2018-03-31约4.35万字共56页下载文档
文本预览下载声明
多元函数的Taylor公式与极 值问题 中值定理与Taylor公式 极值 最小二乘法 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 1 一、中值定理和泰勒公式 二元函数的中值公式和泰勒公式, 与一元函数的拉 格朗日公式和泰勒公式相仿, 对于 n (n ≥2) 元函数 也有相同的公式,只是形式上更复杂一些. 先介绍凸区域 若区域 D 上任意两点的连线都含于 D, 则称D 为凸区域 (如后图). 这就是说, 若 D 为 凸区域,则对任意两点 P (x , y ), P (x , y ) ∈D , 和 1 1 1 2 2 2 一切λ(0 ≤λ≤1), 恒有 P ( x +λ(x −x ), y +λ( y −y ) )∈D . 1 2 1 1 2 1 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 2 • D • P2 • P ∃P ∉D P1 • ∀P ∈D 2 • D P • 1 凸 非凸 定理1 ( 中值定理) 设 f (x , y ) 在凸区域 D ⊂R2 上连续, 在 D 的所有内点都可微, 则对D 内任意两 点 P (a ,b ), Q (a +h,b +k )∈int D , ∃θ(0 θ 1),使得 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 3 f (a +h, b +k ) − f (a,b) (1) ( =+ , + ) + ( + , + ) . f x a θh b θk h fy a θh b θk k 证 令 Φ(t ) f (a +t h, b +t k ) , 它是定义在 [0,1]上 的一元连续函数, 且在 (0, 1) 内可微. 根据一元函数 中值定理, ∃θ(0 θ 1),使得 ′ (2) Φ(1) −Φ(0) Φ (θ), 其中
显示全部
相似文档