多元函数的Taylor公式与极值问题-南京航空航天大学精品课程.PDF
文本预览下载声明
多元函数的Taylor公式与极
值问题
中值定理与Taylor公式
极值
最小二乘法
2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 1
一、中值定理和泰勒公式
二元函数的中值公式和泰勒公式, 与一元函数的拉
格朗日公式和泰勒公式相仿, 对于 n (n ≥2) 元函数
也有相同的公式,只是形式上更复杂一些.
先介绍凸区域 若区域 D 上任意两点的连线都含于
D, 则称D 为凸区域 (如后图). 这就是说, 若 D 为
凸区域,则对任意两点 P (x , y ), P (x , y ) ∈D , 和
1 1 1 2 2 2
一切λ(0 ≤λ≤1), 恒有
P ( x +λ(x −x ), y +λ( y −y ) )∈D .
1 2 1 1 2 1
2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 2
•
D • P2
• P ∃P ∉D
P1 • ∀P ∈D 2 •
D
P •
1
凸 非凸
定理1 ( 中值定理) 设 f (x , y ) 在凸区域 D ⊂R2
上连续, 在 D 的所有内点都可微, 则对D 内任意两
点 P (a ,b ), Q (a +h,b +k )∈int D , ∃θ(0 θ 1),使得
2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 3
f (a +h, b +k ) − f (a,b)
(1)
( =+ , + ) + ( + , + ) .
f x a θh b θk h fy a θh b θk k
证 令 Φ(t ) f (a +t h, b +t k ) , 它是定义在 [0,1]上
的一元连续函数, 且在 (0, 1) 内可微. 根据一元函数
中值定理,
∃θ(0 θ 1),使得
′ (2)
Φ(1) −Φ(0) Φ (θ),
其中
显示全部