节关于实数的连续性与完备性的进一步讨论.ppt

著名数学家希尔伯特说:“无穷是人类最伟大的朋友，也是人类心灵最宁静的敌人”，说明极限是数学最重要的概念。 希尔伯特（David Hilbert，1862－1943）德国数学家，是19世纪和20世纪初最具影响力的数学家之一.是20世纪上半叶数学界的一位领袖人物.他于1900年在巴黎第二界国际数学家代表大会上提出的23个数学问题(史称希尔伯特问题)，激发了整个数学界的想象力.此后，这些问题几乎成为检阅数学重大成就的指标.现在这些问题约有一半已得到圆满解决，还有仍悬而未决.其中第八个问题，就是广为人知的“哥德巴赫猜想”.希尔伯特和他的学生为形成量子力学和广义相对论的数学基础做出了重要的贡献.他的杰出工作在整个数学版图上，留下了他那巨大显赫的名字：希尔伯特空间，希尔伯特不等式，希尔伯特算子，被尊为数学世界的亚历山大. §9 关于实数的连续性与完 备性的进一步讨论 实数基本性质 单调有 界定理 确 界 定 理 闭区间 套定理 有限覆 盖定理 列紧性 定 理 Cauchy 收敛定理 等价定理可相互证明 定义9.1 （集合的聚点） 则称 为 的聚点. 等价的叙述: 都含有 中无穷多个点，则称 为 的聚点. 定理9.1 (聚点定理) 证： 实数轴上任何一个有界无限点集至少有一个聚点. 定理9.2 利用有限覆盖定理证明聚点定理 证：反证法： 设有界无限点集S无聚点，则由S有界知 矛盾 定理9.3 证： 用Cauchy收敛原理证明确界定理. 单调有 界定理 确 界 定 理 闭区间 套定理 有限覆 盖定理 列紧性 定理 Cauchy 收敛定理 等价定理可相互证明 聚点 定理 例1 思路：