§1关于实数集完备性的基本定理.ppt

第七章 实数的完备性 §1 关于实数集完备性的基本定理 首页 × §2 闭区间上连续函数性质的证明 首页 × §1 关于实数集完备性的基本定理 一、区间套定理与柯西收敛准则 二、聚点定理与有限覆盖定理 三、实数完备性基本定理的等价性 若 是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点 , 构成区间套的闭区间列是前一个套者后一个， 一、区间套定理与柯西收敛准则 （i） (ii) 或简称区间套． 这里的性质（i）表明， 即各闭区间的端点满足如下不等式 (1) 定理7.1（区间套定理） 使得 即 (2) 设闭区间列 具有如下性质 则称 为闭区间套， 定义1 首页 × 且有 分析 即要证明闭区间列 有唯一的公共点， 所以首先我们要至少找到一个公共点， 式和单调有界定理可以知道数列 由（1） 和 都存在极限， 只要证明这两个数列极限相等且属于所有的 我们 则找到一个公共点; 然后证明唯一性. 证 由（１）式， 为递增有界数列， 依单调有界定理， 有极限 , （3） 同理，递减有界数列也有极限， 并按区间套的条件（ii）有 （4） 且 （5） 联合（3）、（5）即得（2）式. 最后证明满足（2）的 是唯一的． 设数 也满足 首页 × 区间套定理中要求各个区间都是闭区间，才能保证定理的结论成立． 由区间套的条件（ii）得 故有 　 注1 　 对于开区间列，有可能不成立,如 , 虽然其中各个开区间也是前一个包含后一个， 且 ， 但不存在属于所有开区间的公共点． 则由（２）式有 首页 × 前者是区间套定理本身条件的要求 保证诸区间 后者则把 证明整个区间 上所具有某性质的问题归结为 点邻域 的性质， 应用区间套定理的关键是针对要证明的数学命题， 恰 当地构造区间套. 注2 一方面，这样的区间套必须是闭、缩、套， 即闭区间列 . 满足（i） (ii) 另一方面，也是最重要的，要把欲证命题的本质属性保留在 区间套的每一个闭区间中， 存在唯一公共点 , 实现完满整体向局部的转化. 由（4）容易推的如下很有用的区间套性质 . 首页 × 使得在每个 外只有数列 中有限项. 要使用区间套定理证明充 分性，关键是如何构造合适的区间套，使其公共点正好是数列 的极限. 对任给的 ,存在 , 使得对 , 的 ， 存在 ,使得当 时有 作为区间套定理的应用，我们来证明第二章中叙述而未证明的 “数列的柯西收敛准则＂（定理２.１０）. 即 数列 收敛的充要条件是： 有