高斯定理z[].ppt

* §10-5 高斯定理 高斯（Carl Friedrich Gauss 1777-1855） 德国数学家和物理学家。1777年4月30日生于德国布伦瑞克，幼时家境贫困，聪敏异常，受一贵族资助才进学校受教育。1795-1799年在哥廷根大学学习，1799年获博士学位。1833年和物理学家W.E.韦伯共同建立地磁观测台，组织磁学学会以联系全世界的地磁台站网。1855年2月23日在哥廷根逝世。 高斯长期从事于数学并将数学应用于物理学、天文学和大地测量学等领域的研究，著述丰富，成就甚多。他一生中共发表323篇（种）著作，提出404项科学创见（发表178项），在各领域的主要成就有： （1）物理学和地磁学中，关于静电学、温差电和摩擦电的研究、利用绝对单位（长度、质量和时间）法则量度非力学量以及地磁分布的理论研究。 （2）利用几何学知识研究光学系统近轴光线行为和成像，建立高斯光学。 （3）天文学和大地测量学中，如小行星轨道的计算，地球大小和形状的理论研究等。 （4）结合试验数据的测算，发展了概率统计理论和误差理论，发明了最小二乘法，引入高斯误差曲线。此外，在纯数学方面，对数论、代数、几何学的若干基本定理作出严格证明。 在CGS电磁系单位制（emu）中磁感应强度的单位定为高斯（1932年以前曾经用高斯作为磁场强度单位），便是为了纪念高斯在电磁学上的卓越贡献。 一、定理表述 静电场中通过任意的闭合曲面的电通量，等于曲面内电荷的代数和除以 ?0 。 二、定理证明 1、先证明点电荷的情况成立。取点电荷位于坐标原点高斯面是半径为R的闭合球面。 q是曲面S内所包含的电荷。 穿过球面的电通量 左边 球面上各点E大小相等， E//dS ,cos? =1, 高斯面 右边 左边=右边 2、当曲面是任意形状时，通过球面的电力线也必然通过曲面。即高斯面不是球面时 高斯定理也成立。 3、当高斯面内包含的点电荷不止一个时，利用场强的叠加原理： 4.点电荷位于闭合面外 左边 穿入与穿出的电场线根数相同，正负通量抵消。 右边 由于闭合面内无电荷。 左边=右边 3.点电荷系：设有 1、2、···、k 个电荷在闭合面内，k+1、k+2、···、n 个电荷在闭合面外 由场叠加原理，高斯面上的场强为： 面内电荷 面外电荷 证毕 i在高斯面内 三、明确几点 1.高斯面为闭合面。 3. E 为高斯面上某点的场强，是由空间所有电荷产生的，与面内面外电荷都有关。 2.电通量 ?只与曲面内电荷有关，与曲面外电荷无关。 ? = 0，高斯面内不一定无电荷，有可能曲面内电荷等量异号。 ? =0，高斯面上各点的场强不一定为 0，可能是高斯面内无静电荷。 高斯定是理静电场的基本定理，在计算电场强度上也有广泛的应用。 例1：计算半径 R、带电量为 q 的均匀带电球体内、外的电场强度。 解：1.球体外部 r R，均匀带电球体决定场强为球对称,取半径为 r 的球面为高斯面。 球面内电荷代数和为 高斯面 球面上各点的场强 E 大小相等，方向与法线同向。 高斯面 球面上各点的场强 E 大小相等，方向与法线相同。 与点电荷的场相同。 2.球体内部 r R 面内电荷代数和为 将两边的计算结果代入得： 在球体内部电场强度与r成正比。 四、选取高斯面原则 2.高斯面要经过所研究的场点。 1.要求电场具有高度对称性。 3.高斯面应选取规则形状(通常是平面或圆柱面或球面）。 4.高斯面上各点的法向与场强的关系可以选择为： 场强方向与法线方向一致。 写成 或高斯面上某一部分各点的场强方向与高斯面法线方向垂直，该部分的通量为0。 例2：计算无限长均匀带电直线外一点P的电场强度 E ，设P点到直线的距离为r,线电荷密度为 ?。 解：作半径为r高为h的闭合圆柱面， P 侧面上各点的场强E 大小相等，方向与法线相同。 *