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高斯定理的理解

电子与信息学院 07电联 6号熊德辉

摘要：高斯定理在静电学具有重要的应用。在大学物理里，仅表示为积分形式，应认识其物理意义，同时又必须从它的物理含义上认识它的数学应用，这对清楚、全面了解静电场是至关重要的.

关键词:高斯定理;高斯面；电场线；对称分布；散度；电通量；电场强度。

一、高斯定理的理解

高斯定理是静电学中的一个重要定理，它反映了静电场的一个基本性质，即静电场是有源场，其源即是电荷。可表述为：在静电场中，通过任意闭合曲面的电通量，等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和的￡倍，与闭合曲面外的电荷无关。它的表达

0

式为：jE?dS二四 是电磁学最基本的定理之一。其中,E表示

W

S 0

在闭合曲面上任一dS面处的电场强度，而E?dS则为通过面元dS的电场强度通量，就表je?dS示通过整个闭合曲面S的电场强度通量，j表示沿闭合曲面S的积分，习惯上称S为高斯

s

面，高斯定理表明：静电场是有源的、发散的，源头在电荷所在处，由此确定的电场线起于正电荷，终于负电荷。对高斯定理的理解和应用不正确，常常会出现一些问题。如，高斯面上的E是否完全由高斯面内的电荷产生;如果Zq=0，是否必有E=0；当E处处为零时，是否高斯面内一定无电荷;高斯定理是否在任何情况下都成立；哪些问题用高斯定理解决会简便一些等等.这就涉及是否对高斯定理理解正确，对其数学表达式的理解是否存在数学负迁移情况.其实，只要对高斯定理注意掌握几个要点，就能对上面的问题有比较清醒的认识了.

1 定理中的E是指空间某处的总电场强度

空间中某处的电场强度为空间中所有电荷所激发的电场在该处场强的矢量和.若任意作一个假想的闭合曲面（高斯面）通过该处，用E内、E外分别表示高斯面内、外的电荷在高斯面上产生的场，则在该处的总场强E=E内+E外.由高斯定理有：jE?dS=JE?ds+JE?ds=int

s s s

0

而从电场线的角度看，电场线始于正电荷，终于负电荷，当电场中的闭合曲面内不含有电荷时，电场线仅穿过此闭合曲面，这些进入闭合曲面的电场线总条数与穿出闭合曲面的电场线总条数相等，故通过整个闭合曲面的电场强度通量为零.

所以 JE.?ds=0

s

Zq

JE?dS=iE?dS=-4n^-s s

0即：高斯定理对高斯面内的电荷产生的场而言，也成立.

2 注意JE?ds=厂中E和dS的矢量性

S 0

在对高斯定理的理解上常常出现不注意物理量的矢量性问题.

有些人认为当￡q=0时,由于dS尹0，所以必有E=0.

int

实际上，￡q=0,表明始于闭合曲面内正电荷的电场线与终于

int

闭合曲面内负电荷的电场线数相等，则穿出闭合曲面的电场线数与进入闭合曲面的电场线数相等，即通过整个闭合面的电场强度通量为零.但这并不意味着闭合曲面上电场强度处处为零.因为：

高斯面上某处的场强是高斯面内、外电荷在该处产生的场强的矢量和，所以，即便高斯面内的￡q=0，也无法完全确定E=

int

0;

由于E和dS在式中是矢量的标积关系，因此存在二者的方向问题，如果E尹0，而它与dS的方向垂直，仍有E-dS=0.故不能由￡q=0来判断E是否为零。

int

3 正确理解定理中的￡q

int

￡q是高斯面内正、负电荷电量的代数和.当通过高斯面的电通

int

量为零时，￡q这个结论既可表明高斯面内有电量相等的正、

int

负电荷，也可表明高斯面内无电荷.因此，不能肯定高斯面内

一定无电荷.

， …一一

， …一一￡q

4 不能只从数学的角度理解jE?dS=

s

有些人在对高斯定理的数学表达式的理解上常出现“数学负迁移”问题，得出这样的错误结论：当闭合曲面上E处处为零时，不一定有曲面内电量的代数和￡q=0

int

jE?dS=jE?dS+jE?dS=-4n^=0；

s s s

0

当E=0时，并不一定分别有E内二0和E夕卜二0.由于始终

有jE?dS=0，而E内不一定为零，所以：外s

r r￡qje?

r r￡q

je?dS=JE?dS=—不一定为零，即当闭合曲面上的E处处为

s s内

0

零时，￡q不一定为零.这显然与高斯定理相悖.因为当E处处为零时必有

斯面外的电荷激发的电场通过整个高斯面的电通量为零：

jE外.dS=0，s

所以必有高斯面内电荷的电通量为零：

jE内.dS=0这里可以有两种情况:一是E内二0;二是E内尹0,s

但jE?dS=0无论是哪种情况，都有￡q=0