高斯消元法与矩阵的初等变化.ppt

二、初等变换与高斯消元法 定义1（初等变换）矩阵的行（列）初等变换： 例5 解方程组 例6 解方程组 ? 增广矩阵经 行 初等变换化为行（简化）阶梯形，该阶梯形与方程组解的关系： 三、初等矩阵 定义（初等矩阵）对单位矩阵作一次初等变换所  得矩阵。 定理 对矩阵A作一次行（列）初等变换，相当于在A的左（右）边乘上相应的初等矩阵. 返回 1.2 高斯消元法与矩阵的初等变换 一、 引 入 二、 初等变换与高斯消元法 三、 初 等 矩 阵 返回 一、引入 1.2 高斯消元法与矩阵的初等变换 齐次方程组：AX = 0; 非齐次方程组：AX = b, b ? 0 (b中至少有一分量不为零) 为AX = b的解： AX = b 成立. 问题 方程组何时有解？ 若有解，有多少解？如何求出其全部解？ 例1 考虑方程组的如下同解变换： （行（简化）阶梯形矩阵） 得一般解（无穷多组解）： 自由未知量 例2 若某方程组经同解变换化为 （行阶梯形矩阵） 显然，有唯一解. 例3 若某方程组经同解变换化为 显然，无解. 交换两行（列）的位置； 用一非零数乘某一行（列）的所有元； 把矩阵的某一行（列）的适当倍数加到另一行（列）上去. 高斯消元法就是对增广矩阵实施行初等变换化为 行（简化）阶梯形. 例4 是否为行（简化）阶梯形？ 解 无解. 解 为方程组的全部解. 行（简化）阶梯形中 非零行的行数未知量个数 无穷多解 该数不为零，无解 行（简化）阶梯形中 非零行的行数=未知量个数 唯一解 问题： 对于齐次方程组 AX = 0 ？ 行（简化）阶梯形中 非零行的行数未知量个数 有非零解(无穷多解) 行（简化）阶梯形中 非零行的行数=未知量个数 只有零解(唯一解) 自由未知量 . A 与 B 等价：A B . 初等变换 例1 i 行 j 行 三种初等矩阵： i 行 i 行 j 行 （“左乘行，右乘列”） 定理的应用： 1.若矩阵B是经有限次行初等变换得到的，则存在 有限个初等矩阵E1, …, Ek , 使得 2.若矩阵B是经有限次列初等变换得到的，则存在 有限个初等矩阵E1, …, Ek , 使得 3.若矩阵B是经有限次初等变换得到的，则存在 有限个初等矩阵P1, …, Pk , Q1, …, Qt使得