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几个信号变换时频对.doc

发布:2017-04-07约1.45千字共5页下载文档
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傅里叶级数、傅里叶变换、拉普拉斯变换和Z变换 1. 傅里叶级数(Fs) 1.1. 连续时间周期信号的傅里叶级数 1() 其中, , 为信号的基本周期。 连续时间周期信号能展开成为傅里叶级数的条件(狄利赫利条件):①其在一个周期内绝对可积或其能量在一个周期内是有限的。即是:或;② 在任意一个周期 内,只有有限个极大值和极小值点;③信号 在任意一个周期 内,只有有限个间断点,且在这些间断点出的取值是有界的。 1.2. 离散时间周期信号的傅里叶级数 2() 其中,, 为信号的基本周期。 离散时间周期信号能展开成为傅里叶级数也需要满足与上面类似的狄利赫利条件。 2. 傅里叶变换(FT) 2.1. 连续时间非周期信号的傅里叶变换 3() 连续时间非周期信号可做傅里叶变换的条件(狄利赫利条件):① 绝对可积,即是 ;②在有限区域内只有有限个极大/小值点;③在有限区间内只有有限个不连续点,并且在这些不连续点的取值是有界的。 2.2. 离散时间非周期信号的傅里叶变换 4() 离散时间信号的傅里叶变换简称为DTFT。 离散时间非周期信号可做DTFT也是需要满足与上面类似的狄利赫利条件。 2.3. 离散傅里叶变换 在数字信号处理中,我们通常用到的是离散傅里叶变换(DFT),DFT相当于是对DTFT的采样。而快速傅里叶变换(FFT)是实现DFT的一种高效算法。这几个概念不要搞混淆了。 DFT的推导可用有限长度信号的傅里叶变换和其周期拓展信号的傅里叶级数的关系得来的。 对长度为的离散时间信号(可令),拓展为周期为的周期信号。对应的傅里叶变换 和对应的傅里叶级数可分别表示为: 5() 6() 其中, 。 通过上面两个式子可以看出,傅里叶系数 就是以 为间隔对采样并除以常数 的结果。 令 ,定义离散傅里叶变换(DFT)为: 7() 注意,上式中规定了 和 的取值范围。 指在此范围内取值才有效。 指在内对采样了N个点,对应的频率分别为: 。 2.4. 傅里叶变换和傅里叶级数的关系 对于一个在时域内有限长度的连续时间信号,对其做周期为的拓展,得到信号。则有对应的傅里叶变换和对应的傅里叶级数之间有关系: 8() 其中, 。 对于一个在时域内有限长度的离散时间信号,对其做周期为的拓展,得到信号。则有对应的傅里叶变换和对应的傅里叶级数之间有关系: 9() 2.5. 周期信号的傅里叶变换 理论上严格的说,当信号满足上面关于傅里叶变换存在的条件时, 在常规函数意义下才是有定义的。但我们通过在频域内引入奇异信号(如和等),也可以表示出某些不满足狄利赫利条件的信号的傅里叶变换。 周期信号通过在频域引入奇异信号,可以表示出其傅里叶变换。先通过傅里叶级数把信号分解为基本周期信号的叠加,其傅里叶变换就是对应的基本周期信号的傅里叶变换的叠加。 连续时间周期信号的傅里叶变换: 10() 离散时间周期信号的傅里叶变换: 11() 3. 拉普拉斯变换 12() 其中, 。 连续时间信号 可做拉普拉斯变换也是有一定条件的:存在实数,使得 ,并满足其他的一些条件(类似狄利赫利条件)。使得绝对收敛的 的取值范围就是做拉普拉斯变换的收敛域。 4. Z变换 13() 其中,。 同理,离散时间信号 可做Z变换也是需要一定的条件:存在正实数,使得,并满足其他的一些条件(类似狄利赫利条件)。使得绝对收敛的 的取值范围就是做Z变换的收敛域。
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