复数概念、形式、计算、应用.ppt

第三章　复数及其应用 3.1 复数的概念 运用知识 强化练习 1. 求下列复数的模和辐角主值． 2．把下列复数化为三角形式： 动脑思考 探索新知 复数的加法和减法，可以按照多项式的加法和减法运算法则进行运算． 将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．即 （3．5） （3．6） 可以证明（证明略），复数的加法运算满足交换律与结合律．即对任意 的复数 有 (1) 交换律 (2) 结合律 动脑思考 探索新知 两个复数相乘可以按照多项式相乘的法则来进行，在所得的结果中，把 换成－1，并把实部与虚部分别合并． 设 则 即 （3．7） 巩固知识 典型例题 例4 设 计算 解 由此例可以看到，互为共轭的两个复数的乘积是实数，并且等于这个复数的模的平方． 巩固知识 典型例题 例5 计算 分析 的共轭复数为 解 动脑思考 探索新知 实际运算时，经常使用复数的三角形式进行乘法、乘方、除法运算. 设 则 即 （3．8） 可以看到，乘积的模等于两个复数的模的乘积，乘积的幅角等于两个 复数的幅角的和. 动脑思考 探索新知 当 时，有 即 上面的结论可推广到有限个复数相乘．即 （3．10） 即复数的n次幂 的模等于这个复数的模的n次幂，辐角等于 这个复数的辐角的n倍. （3．9） 动脑思考 探索新知 同样还可以得到，两个复数的商仍然是复数，它的模等于被除数的 模除以除数的模所得的商，辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得 的差. 即 （3.11） 巩固知识 典型例题 例7 计算: 解 动脑思考 探索新知 欧拉在研究指数函数与三角函数间的关系时，证明了一个重要公式 故由复数的三角表示有 （3．12） 这种形式叫做复数的指数形式.其中 是一个无理数.并规 定: 复数的指数形式中，辐角只能用弧度表示. 动脑思考 探索新知 设 复数的乘、除运算法则可以用复数的指数 形式表示为 （3.13） （3.14） （3.15） 巩固知识 典型例题 例10　把下列复数化为指数形式： 分析　将复数的代数形式化为指数形式的关键是求出复数的模与辐角． 解　（1）由 知点 在第三象限， 故辐角为第三象限的角． 所以 又 所以 因此复数 的指数形式为 * 创设情境 兴趣导入 我们知道，一元二次方程 在实数范围内无解．更一般地，当根 时，一元二次方程 （其中a、b、c为 的判别式 ）在实数范围内也无解. 实数且 动脑思考 探索新知 为了使方程 有解，引进一个新数i，叫做虚数单位，并且规定 数i有如下性质： （1）i的平方等于－1，即 （2）i与实数进行四则运算时，原有的加法、乘法的运算法则和运算 律仍然成立. 由性质（1）知， 是方程 的一个解． 由性质（2）知， 故 也是方程 的一个解. 动脑思考 探索新知 根据上述性质， 可以与实数b相乘，由于满足乘法交换律，其乘积 （规定 ），再将 与实数a相加，由于满足加法交换律， 一般写作 其和一般写作 形如 的数叫做复数，其中a叫做复数的实部，b叫做 复数的虚部.复数一般使用小写字母 等来表示. 的实部为－3，虚部为－4． 例如，复数 当虚部b＝0时，复数 就是实数. 当虚部 时，复数 叫做虚数，特别 时虚数 叫做纯虚 数. 动脑思考 探索新知 全体复数组成的集合叫做复数集，常用大写字母C来表示，即 显然，实数集R是复数集C的真子集. 引入复数后，数的范围得到扩充： 巩固知识 典型例题 例1 指出下列复数的实部和虚部，并判定它们是实数还是虚数？ 如果是虚数是否为纯虚数？ 解　　(1) 的实部 ，虚部 ，它是虚数，但不是纯虚数； (2) 的实部 ，虚部 ，它是实数； (3) 的实部 ，虚部 ，它是虚数，且是纯虚数. 动脑思考 探索新知 如果两个复数 与 的实部与虚部 ，即 分别相等，那么称这两个复数相等.记作 特别地 两个复数中，只要有一个不是实数，就不能比较它们的大小， 而只能说它们相等或不相等. 动脑思考 探索新知 如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数，那么，这两个复 数叫做互为共轭复数.例如 互为共轭复数. 的共轭复数用 复数 来表示，即 巩固知识 典型例题 例2 已知 其中x，y是实数，求x和y的值． 解　根据公式(3.1) ，得 解方程组得x＝3，y＝2． 巩固知识 典型例题 例3 求复数 的共轭复数. 解 运用知识 强化练习 1. 指出下列复数的实部和虚部： 2.求下列复数的共轭复数： 创设情境 兴趣导入 任何一个实数a都可以用数轴上的一个点表示． 例如，实数1.5可以用数轴上的点A表示 动脑思考 探索新知 直角坐标平面内的