计算材料学概述 之 蒙特卡洛方法.ppt

计算材料学概述 第三章 蒙特卡罗方法 （Monte Carlo） 主要内容 Monte Carlo模拟发展简介 Monte Carlo模拟基本原理 Monte Carlo模拟典型算法 Monte Carlo模拟典型应用 蒙特卡洛法是什么？ 蒙特卡洛(Monte Carlo)方法，是在简单的理论准则基础上，采用反复随即抽样的方法，解决复杂系统的问题。其实质是一种概率和统计的问题。 蒙特·卡罗方法（Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。 MC的基本思想 　1777年法国科学家布丰提出的一种计算圆周率的方法——随机投针法，即著名的布丰投针问题。这一方法的步骤是： 　　1) 取一张白纸，在上面画上许多条间距为d的平行线。 　　2) 取一根长度为l（ld） 的针，随机地向画有平行直线的纸上掷n次，观察针与直线相交的次数，记为m 　　3）计算针与直线相交的概率． 　　布丰本人证明了，这个概率是: 　　p=2l/(πd) ，π为圆周率 ：　　利用这个公式可以用概率的方法得到圆周率的近似值。下面是一些资料 实验者 年代 投掷次数 相交次数 圆周率估计值 　　沃尔夫 1850 5000 2531 3.1596 　　史密斯 1855 3204 1219 3.1554 　　德摩根 1880 600 383 3.137 　　福克斯 1884 1030 489 3.1595 　　拉泽里尼 1901 3408 1808 3.1415929 　　赖纳 1925 2520 859 3.1795 　　布丰投针实验是第一个用几何形式表达概率问题的例子，他首次使用随机实验处理确定性数学问题，为概率论和蒙特卡罗方法的发展起到一定的推动作用。 　　 实例一、计算π值 计算过程： 1、构造或描述问题的概率过程 2、从概率密度函数出发进行随机抽样，实现从已知概率分布的抽样，得到特征量的一些模拟结果——计算均值 考虑平面上的一个边长为1的正方形及其内部的一个形状不规则的“图形”，如何求出这个“图形”的面积呢？Monte Carlo方法是这样一种“随机化”的方法：向该正方形“随机地”投掷N个点，若有M个点落于“图形”内，则该“图形”的面积近似为M/N。 REAL R,R1,R2,PI ISEED=RTC() N0=0 N=300000 DO I=1,N R1=RAN(ISEED) R2=RAN(ISEED) R=SQRT(R1*R1+R2*R2) IF(R1.0)N0=N0+1 END DO PI=4.0*N0/N WRITE(*,*)PI END 面积的计算 MC的优点 MC与传统数学方法相比，具有直观性强，简便易行的优点，该方法能处理一些其他方法无法解决的负责问题，并且容易在计算机上实现，在很大程度上可以代替许多大型、难以实现的复杂实验和社会行为。无污染、无危险、能摆脱实验误差。 MC的应用 蒙特-卡洛模拟的意义 能研究不同边界、不同材料的影响 理论不可能、实验耗费太大 用于实验设计 无污染 反应堆防护 核弹爆炸 能摆脱实验误差 作理论和实验的桥梁 实例二 定积分计算 事实上，不少的统计问题，如计算概率、各阶距等，最后都归结为定积分的近似计算问题。 下面考虑一个简单的定积分 ! 计算x**2在(0,1)上积分 计算过程： 1、构造或描述问题的概率过程:产生服从分布f（x）的随机变量Xi( )（i=1,2, · · · ,N） 2、从概率密度函数出发进行随机抽样，实现从已知概率分布的抽样，得到特征量的一些模拟结果——计算均值( ) REAL Y Y=0 N=300000 ISEED=RTC() DO I=1,N X=RAN(ISEED) Y=Y+X**2/N END DO WRITE(*,*)Y END Monte Carlo方法另一个重要问题：随机数 随机数：由单位矩阵分布中所产生的简单子样称为随机数序列，其中的每一个个体称为随机数。 但真正的随机数的不适合电子计算机上使用，因为它需要很大的存储量。利用某些物理现象可以在电子计算机上产生随机数，且其产生的序列无法重复实现，使程序无法复算，结果无法验证，同时需要增添随机数发生器和电路联系等附加设备