【优选整合】苏教版高中数学 高三二轮 专题15 直线与圆 测试.doc

第1讲　直线与圆 一、填空题 1.圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是________. 解析　因为圆心为(1，1)且过原点，所以该圆的半径r＝＝，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2. 答案　(x－1)2＋(y－1)2＝2 2.(2014·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________. 解析　圆心为(2，－1)，半径r＝2. 圆心到直线的距离d＝＝， 所以弦长为2＝2＝. 答案　 3.(2017·南京、盐城模拟)过点P(－4，0)的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝5相交于A，B两点，若点A恰好是线段PB的中点，则直线l的方程为________. 解析　设AB的中点为点D，则CDAB，设CD＝d，AD＝x，则PA＝AB＝2x，在直角三角形ACD中，由勾股定理得d2＋x2＝r2＝5.在直角三角形PDC中，由勾股定理得d2＋9x2＝CP2＝25，解得d2＝.易知直线l的斜率一定存在，设为k，则l：y＝k(x＋4)，圆心C(1，0)到直线l的距离为d＝＝，解得k2＝，k＝±，所以直线l的方程为y＝±(x＋4)，即为x±3y＋4＝0. 答案　x±3y＋4＝0 4.(2017·宿迁模拟)已知A，B是圆C1：x2＋y2＝1上的动点，AB＝，P是圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1上的动点，则|＋|的取值范围为________. 解析　设AB的中点为C，由垂径定理可得CC1AB，则CC1＝＝，即点C的轨迹方程是x2＋y2＝，C1C2＝＝5，则PCmax＝5＋1＋＝，PCmin＝5－1－＝，所以|＋|＝|2|[7，13]. 答案　[7，13] 5.已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则PM＋PN的最小值为________. 解析　由条件可知，两圆的圆心均在第一象限，先求PC1＋PC2的最小值，作点C1关于x轴的对称点C1′(2，－3)，则(PC1＋PC2)min＝C1′C2＝5. 所以(PM＋PN)min＝5－4. 答案　5－4 6.(2016·全国卷)已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若AB＝2，则CD＝________. 解析　设AB的中点为M，由题意知，圆的半径R＝2，AB＝2，所以OM＝3，解得m＝－，由解得A(－3, )，B(0，2)，则AC的直线方程为y－＝－(x＋3)，BD的直线方程为y－2＝－x，令y＝0，解得C(－2，0)，D(2，0)，所以CD＝4. 答案　4 7.(2017·江西七校第二次联考)过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线，切点为E，直线EF交双曲线右支于点P，若＝(＋)，则双曲线的离心率是________. 解析　如图，＝(＋)，E为FP的中点， 又O为FF′的中点，OE为△PFF′的中位线， OE∥PF′，OE＝PF′， OE＝a，PF′＝a， PF切圆O于E，OE⊥PF，PF′⊥PF， FF′＝2c，PF－PF′＝2a， PF＝2a＋a＝3a， 由勾股定理得a2＋9a2＝4c2， 10a2＝4c2，e＝＝. 答案　 8.直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点(其中a，b是实数)，且△AOB是直角三角形(O是坐标原点)，则点P(a，b)与点(0，1)之间距离的最小值为________. 解析　根据题意画出图形，如图所示，过点O作OCAB于C，因为△AOB为等腰直角三角形，所以C为弦AB的中点，又OA＝OB＝1，根据勾股定理得AB＝， OC＝AB＝. 圆心到直线的距离为＝， 即2a2＋b2＝2，即a2＝－b2＋1≥0. －≤b≤.则点P(a，b)与点(0，1)之间距离d＝＝＝. 设f (b)＝b2－2b＋2＝(b－2)2，此函数为对称轴为b＝2的开口向上的抛物线，当－≤b≤2时，函数为减函数. f ()＝3－2，d的最小值为＝＝－1. 答案　－1 二、解答题 9.(2015·全国卷)已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点. (1)求k的取值范围； (2)若·＝12，其中O为坐标原点，求MN. 解　(1)由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1， 因为l与C交于两点， 所以1. 解得k. 所以k的取值范围为. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2). 将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得 (1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0. 解方程易得：x1＋x2＝，x1x2＝. ·＝x1x2＋y1y2 ＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)