【优选整合】苏教版高中数学 高三二轮 专题14 导数的实际应用 教案.doc

微点突破　函数与导数在实际问题中的应用 应用1　函数模型在实际问题中的应用 【例1】 (2017·南通模拟)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨. (1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本； (2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 解　(1)每吨平均成本为(万元). 则＝＋－48≥2 －48＝32， 当且仅当＝，即x＝200时取等号. 年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元. (2)设年获得总利润为R(x)万元. 则R(x)＝40x－y＝40x－＋48x－8 000 ＝－＋88x－8 000 ＝－(x－220)2＋1 680(0≤x≤210). R(x)在[0，210]上是增函数，x＝210时， R(x)有最大值为－(210－220)2＋1 680＝1 660. 年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元. 应用2　导数在实际问题中的应用 【例2】 (2015·江苏卷)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l.如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5 km和40 km，点N到l1，l2的距离分别为20 km和2.5 km，以l1，l2所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y＝(其中a，b为常数)模型. (1)求a，b的值； (2)设公路l与曲线C相切于点P，点P的横坐标为t. 请写出公路l长度的函数解析式f (t)，并写出其定义域； 当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度. 解　(1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5，40)，(20，2.5). 将其分别代入y＝，得 解得 (2)由(1)知，y＝(5≤x≤20)， 则点P的坐标为. 设在点P处的切线l交x，y轴分别于点A，B， y′＝－， 则直线l的方程为y－＝－(x－t)， 由此得A，B， 故f (t)＝＝，t[5，20]. 设g(t)＝t2＋，则g′(t)＝2t－. 令g′(t)＝0，解得t＝10. 当t(5，10)时，g′(t)0，g(t)单调递减； 当t(10，20)时，g′(t)0，g(t)单调递增. 所以当t＝10时，函数g(t)有极小值，也是最小值，g(t)min＝300，此时f (t)min＝15. 答：当t＝10时，公路l的长度最短，最短长度为15 km. 探究提高　1.与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题.解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答. 2.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f (x). (2)求导：求函数的导数f ′(x)，解方程f ′(x)＝0. (3)求最值：比较函数在区间端点和使f ′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值. (4)结论：回归实际问题作答. 【训练1】 (2012·江苏卷)如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程； (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由. 解　(1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0， 由实际意义和题设条件知x0，k0， 故x＝＝≤＝10， 当且仅当k＝1时取等号. 所以炮的最大射程为10千米. (2)因为a0，所以炮弹可击中目标?存在k0， 使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立?关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根?判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0?a≤6. 所以当a不超过6千米时，可击中目标. 【训练2】 一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为1万元，每生产1万件需要再投入2万元，设该公司一个月生产该小型产品x万件并全部销售完，每万件的销售收入为(4－x)万元，且每万件国家给予补助万元(e为自然对数的底数，e是一个常数). (1)写出月利润f (x)(万元)关于月产量x(万件