2025年高考数学一轮总复习第8章平面解析几何第10讲圆锥曲线——定点、定值、探究性问题.pptx

第八章平面解析几何

第十讲圆锥曲线——定点、定值、探究性问题

提能训练练案[59]

定点问题

(1)求双曲线C的方程；(2)不经过点P的直线l与C相交于M，N两点，且PM⊥PN，求证：直线l过定点．

由①②联立得：m2－32k2－4km－18m＋72＝0，即(m＋4k－6)(m－8k－12)＝0，由已知l不经过点(4,6)，故m＋4k－6≠0，所以m－8k－12＝0，故m＝8k＋12，l：y＝k(x＋8)＋12，过定点(－8,12)当l⊥x轴时，设M(x1，y1)，N(x1，－y1)，解得x1＝－8，满足条件，故直线l过定点(－8,12).

定直线问题(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4,0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上．

名师点拨：求解定点、定直线问题常用的方法1．“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目标的一般性证明．2．“一般推理，特殊求解”，即先由题设条件得出曲线的方程，再根据参数的任意性得到定点坐标．3．求证直线过定点(x0，y0)，常利用直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)来证明．

所以t2－t－2＝0，解得t＝－1或t＝2(舍去)，所以直线MN的方程为x＝sy－1，故直线MN过定点(－1,0).

定值问题

名师点拨：圆锥曲线中定值问题的特点及解法1．特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值．2．解法(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；(2)引进变量法：其解题流程为

【变式训练】(2024·河北衡水中学综合素养测评)已知直线l1：y＝2x和直线l2：y＝－2x，过动点E作平行l2的直线交l1于点A，过动点E作平行l1的直线交l2于点B，且四边形OAEB(O为原点)的面积为4.(1)求动点E的轨迹方程；

探究型问题

名师点拨：存在性问题的解题策略存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．1．当条件和结论不唯一时要分类讨论．2．当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．

存在性问题的答题模版

(1)求椭圆C的焦距；(2)试探究是否存在过点(0，－5)，且与椭圆C交于不同的两点M，N，并满足|AM|＝|AN|的直线l？若不存在，说明理由；若存在，求出直线l的方程．

(2)假设存在该直线l，分情况讨论：当直线l的斜率不存在时，显然|AM|＝|AN|不成立；当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx－5(k≠0)，