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山西省太原市2023-2024学年高一下学期期中学业诊断考试数学试卷(解析).docx

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山西省太原市2023-2024学年高一下学期期中学业诊断考试数学试卷

说明:本试卷为闭卷笔答,答题时间90分钟,满分100分.

一、选择题(本题共8小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)

1.在复平面内,复数对应的点的坐标是()

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】求出复数实部、虚部可得答案.

【详解】在复平面内,复数对应的点的坐标是.

故选:B.

2.已知,且∥,则实数()

A. B.1 C. D.4

【答案】C

【解析】

【分析】由两向量共线列方程求解即可

【详解】因为,且∥,

所以,得,

故选:C

3.下列结论不正确的是()

A.三棱锥是四面体 B.长方体是平行六面体 C.正方体是直四棱柱 D.四棱柱是平行六面体

【答案】D

【解析】

【分析】利用四面体的定义判断A;利用平行六面体的定义判断BD;利用直四棱柱的定义判断C.

【详解】对于A,三棱锥是四面体,故A正确;

对于B,长方体是平行六面体,故B正确;

对于C,正方体是直四棱柱,故C正确;

对于D,四棱柱的底面不一定是平行四边形,

四棱柱不一定是平行六面体,故D错误.

故选:D.

4.在中,,则()

A. B.2 C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据正弦定理即可求解.

【详解】由正弦定理可得:.

因为,

所以.

故选:A.

5.已知正方形ABCD的边长为2,则正方形ABCD用斜二测画法画出的直观图的面积为()

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据原图与直观图的面积关系即可求解.

【详解】正方形ABCD的边长为2,

则原图面积S原

由原图与直观图的面积关系得S直

故选:.

6.在中,点在线段上,且,则()

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据向量的线性运算公式化简可得答案.

【详解】因为,所以,

.

故选:D.

7.已知一个圆锥的底面半径为,母线长为,则其内切球的体积为()

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】由圆锥的轴截面图可求得圆锥内切球的半径,进而求体积.

【详解】因为圆锥的底面半径为,所以圆锥的底面直径为,

如图圆锥内切球半径为圆锥轴截面内切圆半径,

设内切球半径为,内切球球心为I,连接IP,IQ,IS.

三角形PQS是边长为的等边三角形,

由等面积法有,12×23+2

故所求为V=4

故选:C.

8.勒洛三角形是一种典型定宽曲线,分别以等边三角形每个顶点为圆心,以边长为半径,在另两个顶点间作一段圆弧,三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中,已知,点在弧AC上,且,则()

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】以为原点,建立平面直角坐标系,利用坐标法求向量数量积.

【详解】以为原点,为轴,点在第一象限,建立如图所示的平面直角坐标系,

则有,,,为弧上的点且,则,

.

故选:A.

二、选择题(本题共4小题,每小题3分,共12分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得3分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)

9.已知非零复数,其共轭复数为,则下列结论正确的是()

A. B.

C.若,则是纯虚数 D.若,则是纯虚数

【答案】BC

【解析】

【分析】对于A,举反例即可判断;对于BCD,由复数的概念、复数四则运算以及复数模的计算公式逐一验算即可.

【详解】对于A,取,则,故A错误;

对于B,设,则,故B正确;

对于C,设,则,故,而复数是非零复数,所以,则是纯虚数,故C正确;

对于D,设,则,故,而复数是非零复数,所以,则是实数,故D错误.

故选:BC.

10.已知单位向量,下列结论正确的是()

A.

B.

C.若,则

D.若,则

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A,由数量积的定义验算即可;对于B,只需即可否定,对于CD,由数量积的运算律即可判断.

【详解】对于A,,故A正确;

对于B,当时,不一定共线,所以不一定相等,故B错误;

对于C,若,则,即,故C正确;

对于D,

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