河南省郑州市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(原卷）.docx

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郑州一中2023～2024学年下学期期中考试

26届高一（数学）试题

说明：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分.

2．考试时间：120分钟.

3．将第Ⅰ卷的答案代表字母填（涂）在答题卡上.

第Ⅰ卷（选择题，共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.设都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（）

A B. C. D.且

2.如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（）

A. B. C.2 D.

3.（为虚数单位），则（）

A. B. C. D.

4.设是空间中的一个平面，是三条不同的直线，则下列说法对的是（）

A.若，，，，则

B.若，，，则

C.若，，则

D.若，，，则

5.已知正方体棱的中点分别，则下列直线中，与平面和平面的交线平行的直线（）

A. B. C. D.

6.复数满足，则（）

A. B. C. D.5

7.西流湖公园今年春天成为了网红打卡地，公园里不仅有美丽的景色，各种亭台楼阁也是各有特色.十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，图1中的角楼的顶部即为十字歇山顶．其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2）．这两个直三棱柱有一个公共侧面．在底面中，若，，则该几何体的体积为（）

A.88 B. C.64 D.

8.在中，角所对的边分别是，若，边上的高为，则的最大值为（）

A. B. C. D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的选项有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.若为复数，，下列命题正确的是（）

A.若，则， B.若，则

C.若，则 D.若，则或

10.内角的对边分别为，则下列说法正确的是（）

A.若，则

B.若，则可以是钝角三角形

C.若，，，则有两解

D.若，且，则为等边三角形

11.已知正四棱柱的底面边长为2，球O与正四棱柱的上、下底面及侧棱都相切，P为平面上一点，且直线BP与球O相切，则（）

A.球O的表面积为 B.直线与BP夹角等于

C.该正四棱柱的侧面积为 D.侧面与球面的交线长为

第Ⅱ卷（非选择题，共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12.已知点，则在方向上的投影向量为______．

13.某地需要经过一座山两侧的两点修建一条穿山隧道．工程人员先选取直线上的三点，在隧道正上方的山顶处测得处的俯角为，处的俯角为，处的俯角为，且测得，，，则拟修建的隧道的长为______．

14.已知矩形，，，沿将折起成．若点在平面上的射影落在内部，则四面体的体积取值范围是______．

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.已知点，，及.

（1）若点P在第一象限，求t的取值范围；

（2）四边形能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.

16.已知复数，，，若一复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”，已知为“理想复数”．

（1）求实数；

（2）定义复数的一种运算“”：，求．

17.某种建筑使用的钢筋混凝土预制件模型如下图所示，该模型是由一个正四棱台从正中间挖去一个圆柱孔而成，已知该正四棱台上底和下底的边长分别为和，棱台的高为，中间挖去的圆柱孔的底面半径为.计算时取3.14.

（1）求浇制一个这样预制件大约需要多少立方厘米混凝土；

（2）为防止该预制件风化腐蚀，需要在其表面涂上一层保护液，若每升保护液大约可以涂，请计算涂一个这样的预制件大约需要购买保护液多少升？（结果取整数）

18.在梯形中，，是线段上一点，，，，，把沿折起至，连接使得平面平面．

（1）证明：平面；

（2）求异面直线与所成的角；

（3）求直线与平面所成角正弦值．

19.如图，设中角，，所对的边分别为，，，为边上的中线，已知且，.

（1）求边的长度；

（2）求的面积；

（3）点为上一点，，过点的直线与边，（不含端点）分别交于，.若，求