浙江省绍兴市诸暨中学暨阳分校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(原卷）.docx

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诸暨中学暨阳分校2023—2024学年第二学期期中考试

高一数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.下列命题正确的是（）

A.若，则 B.向量与向量的长度相等

C.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 D.若，则

2.若复数（i为虚数单位），则z的共轭复数（）

A. B. C. D.

3.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（）

A. B.2 C. D.

4.在中，角的对边分别为，若，则中角B的大小是（）

A. B. C. D.

5.在△ABC中，O为BC的中点，若，则动点M的轨迹必通过△ABC的（）

A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心

6.小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（????）

A.20m B.30m C.20m D.30m

7.如图，三棱锥中，平面，且，，.则该三棱锥的外接球的体积为（）

A. B. C. D.

8.如图，在直角梯形ABCD中，，，，，M是AD的中点，P是梯形ABCD内一点（含边界），若，且，则的最小值是（）

A. B. C. D.

二、选择题:本题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（）

A.直线与是异面直线

B.直线与是平行直线

C.直线与相交直线

D.平面截正方体所得的截面面积为

10.对于，角的对边分别为，则下列说法正确的是（）

A.若，则

B.若，则等腰三角形

C.若，则是钝角三角形

D.若，则符合条件的有两个

11.已知复数，则下列结论正确的有（）

A. B.

C. D.若，且，则

三、填空题:本题共3小题，每小题4分，共12分.

12.已知向量与的夹角为，且，，则的值为______.

13.在△中，，，且，则______．

14.半正多面体亦称“阿基米德体”“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为1，点M，N分别在线段，上，则的最小值为___________.

四、解答题（共5小题，共52分）

15已知向量，，，且，．

（1）求x与y的值；

（2）若，，求向量，的夹角的大小.

16已知复数.

（1）若m=0，求|z|；

（2）若z是纯虚数，求m的值；

（3）若z对应复平面上的点在第四象限，求m的范围.

17.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足．

（1）求角C值；

（2）若，，求的周长．

18.正四棱锥P-ABCD，点E在棱PB上，满足，点F在棱PC上，满足.

（1）证明：PA//平面BDF；

（2）点G是棱PB上一点，且EF//平面ACG，求三棱锥D-ACG与四棱锥P-ABCD的体积之比.

19.如图，在△ABC中，AB=BC=2，D为△ABC外一点，AD=2CD=4，记∠BAD=α，∠BCD=β.

（1）求的值；

（2）若△ABD的面积为，△BCD的面积为，求的最大值.