浙江省宁波市北仑中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(原卷）.docx

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北仑中学2023学年第二学期高一年级期中考试数学试卷

（全年级+外高班使用）

命题、审题：高一数学备课组

选择题部分（共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.复数在复平面内所对应的点位于（）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的()

A. B. C. D.

3.水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（）

A等边三角形 B.直角三角形

C.三边中只有两边相等的等腰三角形 D.三边互不相等的三角形

4.已知△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若A＝，b＝2acosB，c＝1，则△ABC的面积等于()

A. B. C. D.

5.蒙古包是蒙古族牧民居住一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包下半部分近似一个圆柱，高为2m；上半部分近似一个与下半部分同底的圆锥，其母线长为m，轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是面积为的等腰钝角三角形，则该蒙古包的体积约为（）

A. B. C. D.

6.如图，在直三棱柱中，，P为的中点，则直线与所成的角为（）

A. B. C. D.

7.三棱锥的侧棱上分别有三点E，F，G，且，则三棱锥与的体积之比是（）

A6 B.8 C.12 D.24

8.在锐角中，角对边分别为的面积为，若，则的取值范围为（）

A. B. C. D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.欧拉公式（为虚数单位，）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（）

A.的虚部为1 B.

C. D.的共轭复数为

10.在△ABC中，，，，则（）

A.△ABC外接圆面积为定值，且定值为 B.△ABC的面积有最大值，最大值为

C.若，则 D.当且仅当或时，△ABC有一解

11.如图，矩形中，，，为边的中点，沿将折起，点折至处（平面），若为线段的中点，平面与平面所成锐二面角，直线与平面所成角为，则在折起过程中，下列说法正确的是（）

A.存在某个位置，使得

B.面积的最大值为

C.

D.三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积

非选择题部分（共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12.已知复数满足，则（为虚数单位）的最大值为_________．

13.“天封塔”位于宁波市海曙区大沙泥街西端与解放南路交汇处，是宁波重要地标之一，为中国江南特有的仿宋阁楼式砖木结构塔，具有宋塔玲珑精巧、古朴庄重的特点，也是古代明州港江海通航的水运航标．某同学为测量天封塔的高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高_________．

14.已知，，，四点都在表面积为的球的表面上，若是球的直径，且，，则三棱锥体积的最大值为___________．

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.如图，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点．

（1）求圆柱的侧面积和体积；

（2）证明：平面平面；

（3）若是的中点，点在线段上，求的最小值．

16.已知复数，，（，是虚数单位）．

（1）若在复平面内对应的点落在第一象限，求实数的取值范围；

（2）若是实系数一元二次方程的根，求实数的值；

（3）若，且是实数，求实数的值．

17.如图，在四面体中，，分别是中点.

（1）求证：；

（2）在上能否找到一点，使平面？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由；

（3）若平面平面，且，求直线与平面所成角的正切值.

18.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求；

（2）若的面积为．

①已知为的中点，求底边上中线长的最小值；

②求内角A的角平分线长的最大值．

19.