3-垂径定理及其推论.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * 问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少？ 　由此你能得到圆的什么特性？ 可以发现：圆是轴对称图形。任何一条直径所在直线都是它的对称轴．　 不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗? 如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和弧? 为什么? · O A B C D E 线段: AE=BE 弧: AC=BC, AD=BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 1 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧 CD⊥AB ∵ ∴ AE=BE, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD. · O A B C D E 老师提示: 垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如. 2 垂径定理推论 a 推理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。 ∴ CD⊥AB, ∵ CD是直径， AE=BE ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD. · O A B C D E 垂径定理的本质是 满足其中任两条，必定同时满足另三条 （1）一条直线过圆心 （2）这条直线垂直于弦 （3）这条直线平分弦 （4）这条直线平分弦所对的优弧 （5）这条直线平分弦所对的劣弧 （1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 讨论：上述五个条件中的任何两个条件作为题设，是否都可以推出其他三个结论. · O A B D C E 　　垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. (3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 垂径定理 推论： (4)圆的两条平行弦所夹的弧相等。 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 题设 结论 （1）直径 （2）垂直于弦 ｝ ｛ （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 M O A C B N ①直线MN过圆心②MN⊥AB ③ AC=BC ④ ⑤ 垂径定理 ⌒ AM= ⌒ MB ⌒ AN= ⌒ NB M O A C B N ①直线MN过圆心③ AC=BC ②MN⊥AB ④ ⑤ ⌒ AM= ⌒ MB ⌒ AN= ⌒ NB 垂径定理推论1 推论1. (1)平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 M O A C B N ② MN⊥AB ③ AC=BC 垂径定理推论1 ①直线MN过圆心O ④ ⑤ ⌒ AM= ⌒ MB ⌒ AN= ⌒ NB 推论1: (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; M O A C B N 垂径定理推论1 ② MN⊥AB ③ AC=BC ④ ⌒ AM= ⌒ MB ①直线MN过圆心O ⑤ ⌒ AN= ⌒ NB 推论1: (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 圆的两条平行弦所夹的弧相等。 ●O A B C D ●O A B C D M M 垂径定理推论2 (4)若 ，CD是直径, 则 、 、 . (1)若CD⊥AB, CD是直径, 则 、 、 . (2)若AM=MB, CD是直径, 则 、 、 . (3)若CD⊥AB, AM=MB, 则 、 、 . 1.如图所示: 练习 ●O A B C D └ M AM=BM ⌒ ⌒ AC=BC ⌒ ⌒ AD=BD CD⊥A