次样条曲线的生成算法的研究.doc

三次样条曲线的生成算法 本文由天空乐园河南自考网整理分享 摘要 三次样条函数曲线具有的最高多项式插值精度是三次多项式函数，对其进行推广构造的三次参数样条曲线应至少具有同样的插值精度。 本文讨论了构造三次参数样条曲线中节点选取问题，相邻两节点之间的跨度规范化为 1，提出了构造 2GC 三次参数样条曲线的新方法。文中首先讨论了 2GC 三次参数样条曲线需满足的连续性方程，然后讨论了平面有序五点确定一组三次多项式函数曲线和平面有序六点唯一确定一条三次多项式函数曲线。 在此基础上， 提出了为给定数据点选取节点值的新方法。 新方法构造的 2GC 三次参数样条曲线具有三次多项式函数的插值精度。 最后以具体数据点对新方法和已有的四种节点选取方法构造的插值曲线的精度做了比较。 关键词：三次样条曲线；曲线拟合；计算机图形学 自1946年美国数学家 I. J. Schoenberg 提出样条函数[1]以来，样条函数以其构造简单、易于计算又有很好的力学背景等特点而被广泛用于科学计算、 工程设计和计算机辅助设计等领域，成为最重要的曲线和曲面构造方法之一。在样条函数的应用中，三次样条函数由于具有极小模性质、 最佳逼近性质和很强的收敛性[2,3,4]等而成为最主要的方法应用于构造插值曲线和曲面。 用样条函数方法构造三次插值曲线，曲线的连续性基本可满足实际应用的要求。当曲线的端点条件确定之后，曲线的精度和形状是由曲线需满足的连续性方程唯一决定的。在小挠度的情况下，插值曲线的精度和形状都是非常理想的。对大挠度曲线和任意平面数据点，则需推广三次样条函数方法构造三次参数样条曲线，此时需知道每个数据点处的参数值（节点值） 。在实际应用中，这些参数值一般是无法预先给定的，所以构造三次参数样条曲线的第一步是对给定数据点参数化，即为每个数据点指定节点值。如果指定的节点值是精确的，给定适当的端点条件，可使构造的插值曲线的代数精度达到三次参数多项式。构造三次参数样条曲线，当曲线的端点条件确定之后，能够决定曲线插值精度的量只有节点。因此构造三次参数样条曲线的关键是如何选择节点。目前常用的节点选取方法有 4种，均匀参数化法、累加弦长参数化法、向心参数化法[5]和修正弦长参数化法[6]。这些方法虽然在实际中得到了较为广泛的应用，但从逼近的角度看，它们的插值精度较低，其插值多项式的最高精度是线性的。 最近一个确定节点的方法[7]具有二次多项式插值精度， 如果用来构造三次参数样条曲线，这个精度也是较低的。 三次样条函数曲线具有的最高多项式插值精度是三次多项式函数，对其进行推广构造的三次参数样条曲线应至少具有同样的插值精度。从这一目标出发，本文讨论了构造三次参数样条曲线中节点选取问题，相邻两节点之间的跨度规范化为 1，提出了构造 2GC 三次参数样条曲线的新方法。文中首先讨论了 2GC 三次参数样条曲线需满足的连续性方程，然后讨论了平面有序五点确定一组三次多项式函数曲线和平面有序六点唯一确定一条三次多项式函数曲线。 在此基础上， 提出了为给定数据点选取节点值的新方法。 新方法构造的 2GC 三次参数样条曲线具有三次多项式函数的插值精度。 最后以具体数据点对新方法和已有的四种节点选取方法构造的插值曲线的精度做了比较。 平面自由曲线——不能用一个标准代数方程精确表示。实际中应用很多，如轮船船身放样。 将放样过程抽象为:平面上给定若干点（型值点），找一个代数方程，逼近或插值上述型值点。 理论上，n个点，可以找到一个n-1次多项式来逼近，但n太大时，多项式次数太高，计算复杂，难以控制。 工程上，降低次数，且分段定义。 样条函数自提出以来，以其构造简单，易于计算，及很好的力学背景等特点被广泛用于科学计算，工程设计和计算机辅助设计等领域，从而成为最重要的曲线和曲面构造方法之一。 三次样条曲线在使用中存在局限性，且表示方法缺乏几何不变性。即当平面直角坐标系中得型值点发生旋转等几何变形时，其曲线的形状也发生变形，严重时甚至不能保证满足X1X2X3Xn的条件，对表现曲线的几何形状极为不便；在使用autoCAD中spline命令绘制样条曲线时，可能导致各型值点的横坐标也不能满足X1X2X3Xn的条件。为了解决这些问题，一些学者运用向心参数法在周期性三次样条曲线拟合控制多边形时，取得了很小的偏差；基于累加弦长的三次参数样条曲线插值在数控系统中取得了较好的效果，但是以累加弦长为参数的三次参数样条曲线插值和基样条的函数插值在各分段曲线两端曲率的符号相同的情况下都有可能产生这段曲线上的拐点，造成曲线不光顾。因此一些准测提出检查多余的拐点，YE J等人修正了Kjellander的方法，并从累加弦长参数化和光顾函数两方面消除了三次参数样条的震荡和回折。 在曲线