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B样条曲线
学习进展报告
CONTENTS
01
Bezier曲线
Part One
贝塞尔曲线(Bézier curve)，又称贝兹曲线或贝济埃曲线，是应用于二维图形应用程序的数学曲线。一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线，贝兹曲线由线段与节点组成，节点是可拖动的支点，线段像可伸缩的皮筋
给定点 P0、P1，线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线。这条线由下式给出：
当参数t变化时，其过程如下：
线性贝塞尔曲线函数中的t会经过由P0至P1的B（t）所描述的曲线。例如当t=0.25时，B（t）即一条由点P0至P1路径的四分之一处。就像由0至1的连续t，B（t）描述一条由P0至P1的直线。
二次方贝塞尔曲线的路径由给定点 P0、P1、P2 的函数B(t) 追踪：
为建构二次贝塞尔曲线，可以中介点Q0和Q1作为由0至1的t：
* 由P0至P1的连续点Q0，描述一条线性贝塞尔曲线。
* 由P1至P2的连续点Q1，描述一条线性贝塞尔曲线。
* 由Q0至Q1的连续点B（t），描述一条二次贝塞尔曲线。
二次曲线看起来是这样的：
对于三次曲线，可由线性贝塞尔曲线描述的中介点Q0、Q1、Q2，和由二次曲线描述的点R0、R1所建构。P0、P1、P2、P3四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。曲线起始于P0走向P1，并从P2的方向来到P3。一般不会经过P1或P2；这两个点只是在那里提供方向资讯。P0和P1之间的间距，决定了曲线在转而趋进P3之前，走向P2方向的“长度有多长”。
三次曲线的动态图如下：
给定P0、P1、P2、P3，三次曲线的参数形式如下：
要“画”出贝塞尔曲线，一般需要进行较多的计算，然后绘制出来。
高阶曲线的动态图如下：
更高阶的贝塞尔曲线，可以用以下公式表示：用表示由点P0、P1、…、Pn所决定的贝塞尔曲线。则有：
Bezier曲线的一般化形式：
即：
其中多项式：
又称作 n 阶的伯恩斯坦基底多项式，定义 00 = 1。
CONTENTS
02
B样条曲线
Part Two
从Bezier曲线到B样条曲线
Bezier曲线在应用中存在诸多不足：
▲缺乏灵活性 一旦确定了特征多边形的顶点数（m个），也就
确定了曲线的阶次，无法更改；
▲控制性差 当顶点数较高时，曲线的阶次将较高，此时特征多
边形对曲线形状的控制将明显减弱；
▲不易修改 由曲线的混合函数可看出，其值在开区间（0,1）内
均不为零。因此，所定义之曲线在（0t1）的区间内的任何一
点均要受到全部顶点的影响，这使得对曲线进行局部修改成为
不可能。
Bezier曲线改变一点曲线整体受影响
B样条曲线改变一点曲线局部受影响
B样条曲线的优点：
易于进行局部修改；
更逼近特征多边形；
是低阶次的曲线。
均匀B样条曲线的参数表达式为：
式中为n次B样条基函数，其形式为：
其中
nbsp;
#includelt;graphics.hgt;
#includelt;conio.hgt;
float px[10]={50,90,150,120,220,300,380,320,450,500};
float py[10]={100,60,50,150,240,100,100,200,250,130};
void B_spline()
{
float a0,a1,a2,a3,b0,b1,b2,b3;
int k,x,y;
float i,t,dt,n=10;
setcolor(15);
dt=1/n;
for(k=0;klt;10;k++)
{nbsp;if(k==0) moveto(px[k],py[k]);
nbsp;lineto(px[k],py[k]);
}
setcolor(4);
for(k=0;klt;10-3;k++)
{nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; if(getch()==17)exit();
B样条曲线的C语言实现
nbsp;a0=(px[k]+4*px[k+1]+px[k+2])/6;
nbsp;a1=(px[k+2]-px[k])/2;
nbsp;a2=(px[k]-2*px[k+1]+px[k+2])/2;
nbsp;a3=-(px[k]-3*px[k+1]+3*px[k+2]-px[k+3])/6;
nbsp;b0=(py[k]+4*py[k+1]+py[k+2])/6;
nbsp;b1=(py[k+2]-py[k])/2;
nbsp;b2=(py[k]-2*py[k+1]+py[k+2])/2;
nbsp;b3=-(py[k]-3*py[k+1]+3*py[k+2]-py[k+3])/6;
nbsp;for(i=0;ilt;n;
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