n维欧氏空间中某些概念.ppt

* 第七章 多元函数微分学 第一节 n维欧氏空间中某些概念 N维欧氏空间 邻域 内点，外点，边界点，聚点 开集，闭集，区域 小结 思考题 作业 第八章 多元函数微分法及其应用 一、 N维欧氏空间 1. 平面点集 n 维空间 一元函数 平面点集 n 维空间 实数组(x, y)的全体, 即 建立了坐标系的平面称为坐标面. 坐标面 坐标平面上具有某种性质P的点的集合, 称为 平面点集, 记作 (1) 平面点集 二元有序 n 元有序数组 的全体 n 维空间中的每一个元素 称为空间中 称为该点的第k个坐标. 记作 (2) n 维空间 n 维空间. 称为 即 的一个点, 下面在　　中引进代数运算及内积和范数。 定义１.设 定义 (１)　相等 (２)　和 (３)　数乘 (４)　差 (５)　零向量或原点: (６)　内积(或点积): (７)　范数(或模): 范数　　　　称为 之间的距离或度量. 范数满足下列基本性质. 定理１.　　设 则有 柯西-施瓦兹不等式 三角不等式 在　　　中选取一组单位向量 称为　　　中的单位坐标向量(或一组基). 则对 有 二、邻域 (Neighborhood) 设P0(x0, y0)是 xOy 平面上的一个点, 几何表示： O x y . P0 令 有时简记为 称之为 ① 将邻域去掉中心, ② 也可将以P0为中心的某个矩形内(不算周界) 注 称之为 的全体点称之为点P0邻域. 去心邻域. 称为 (1) 内点 显然, E的内点属于E. 设E为一平面点集, 若存在 称P为E的 内点. (2) 外点 如果存在点P的某个邻域 则称P为E的 外点. (3) 边界点 如点P的任一邻域内既有属于E的点, 也有不属于E的点, 称P为E的边界点. E的边界点的全体称为E的 边界, 记作 使U(P) ∩ E = ?, 内点的全体称为E的内部,记为: 孤立点也是边界点. 三、内点,外点,边界点,聚点 聚点 如果对于任意给定的 点P的去心邻域 内总有E中的点 则称P是E的 聚点. (P本身可属于E,也可不 属于E ), 则P为E的内点; 则P为E的边界点, 也是E的聚点. E的边界 为集合 聚点的全体称为导集,记为: 但是点(6,6)为E的边界点,不是E的聚点. 例如, 设点集 开集 若E的任意一点都是内点, 称E为开集. 即, 闭集 若E的余集为开集,则称E为闭集. 或,若 则称E为闭集. 例 判断下列集合哪些为开集,闭集 四、开集,闭集,区域 平面区域(重要) 设D是开集. 连通的开集称区域 连通的. 如对D内任何两点, 都可用折线连 且该折线上的点都属于D, 称开集D是 或开区域. 如 都是区域. 结起来, 开区域连同其边界,称为 有界区域 否则称为 都是闭区域 . 如 总可以被包围在一个以原点为中心、 适当大的圆内的区域, 称此区域为 半径 (可伸展到无限远处的区域 ). 闭区域. 有界区域. 无界区域 O x y O x y O x y O x y 有界开区域 有界半开半闭区域 有界闭区域 无界闭区域 五、小结 N维欧氏空间 内点, 边界点, 聚点, 开集, 连通, 区域 作业 习题７.1(４６页) (A) 4.(2) * *