四维欧氏空间中的曲面.pdf

2002年 5月 东 北 大 学 学 报 ( 自 然 科 学 版 ) May 2002 第23卷第5期 JournalofNortheasternUniversity(NaturalScience) Vo1．23，No．5 文童编号：1005．3026(2002)(15．0499．o4 四维欧氏空间中的曲面 刘会立，邓艳娟 (东北大学 理学院 辽宁 沈阳 110IX}4) 摘 要：研究四维欧氏空间中的一类曲面，给出了具有常平均曲率、常高斯曲率及相关平均 曲率和高斯曲率的这类曲面的分类．具有常平均曲率的曲面有4种；具有常高斯曲率的曲面有 3 种 ；具有相关非常效平均曲率和非常数高斯曲率的曲面有 3种． 美 键 词：曲面；旋转曲面；有限型曲面；平均曲率；高斯曲率；相关平均曲率和高斯曲率 中固分类号：0 186．12 文献标识码 ：A 存在性问题是微分几何研究的重要问题之一． I，c2力 幂 甄 ，且 I≠U· 因此 ，确定具有某种特征的曲面或子流形是一项非 3)曲面 M 有相关 的非常数平均 曲率H≠O 常有意义的工作 ．C．SH [I]和 G．Vraneanu[23 和非常数高斯曲率 K≠0，这时 f(“)由下式决定 人研究了曲面M：(“，)=(1厂(“)∞s“∞s，f(“) cosugmv，l厂(“)gmucosv，f()dnusqnv)，其 中，， ⑧ ：f+『『 + (“)∈C (尺)【～ ．Houh在文献[1]中确定了平坦 的有限型曲面．本文对这种曲面证明了下述定理． 1一 减 定理 1 在 四维欧氏空间E 中，如果 曲面 M 具有相关平均曲率 H和高斯 曲率K，即at-I+ 6K=O，d与b为常数 ，则 ⑨ ： 1)曲面 M 具有常平均曲率，这时 +『『『 + ① ， I(ecs(2u+ 2))-1．,2，其中，h 2为 常数 ；或 ：_Ⅲ：：7= 1一，_2]一+； ②，：吉；或 或 ③ f=Cl∞s+ 2sinu，其中，c1，c2满足条 ⑩ ： +『『：『 件c}ci寿；或 + = 薪 ：_=7 1一 + c：，其中，P=一号c，／3，Q=一c6，m= 中，l，2为常数，且 l~-o． 2)曲面 M 具有常高斯曲率，这时 半 =学 = ⑤ ，=c2er，其中，l，2为常数 ；或 ⑥ f：c1∞s“+C2slnu，其中，1，2满足条 1 预备知识 件c}+cl=壶；或 设E 为四维欧氏空间，它的度量为 (，) ⑦“；卜7 +C2,其中，： 壹 ，：(l，2，3，)，：(I，2， +一 ／产一—I + C1 v{．v)∈ E4．定 义E4中的旋转 曲面 M 为 收稿 日期：2001-07-05 基金硬 目：教育部 “簧助优秀青年教师计划 赍助项 目． 作者筒介：剜击立 【1959一)，男，江宁江阳人，南北大学教授 500