§3.7欧氏空间.pdf

→ → 在解析几何中，对平面上的有向线段 与 可 a b 做点乘 （也称内积）运算 → → → → → → a ⋅b | a || b | cos a , b → → → → → 其中， 表示有向线段 与 的夹角，| a | a , b a b → → → 和| b | 分别有向线段 与 的长度。利用点乘可得 a b → → → → → → → a ⋅b | a | a ⋅a cos a , b → → | a || b | → → → 点乘具有如下性质：对任意 a , b , c 及k ∈R 均有 → → → → （1） a⋅b b=⋅a → → → → → → → （2 ） (a+b ) ⋅c a=⋅c +b⋅c → → → → （3 ） (k a ) ⋅b k (a=⋅b ) → → → （4 ） a⋅a ≥0 ，等号成立当且仅当 a 0 一、内积与度量 定义 设V是实数域R上的一个线性空间。如果对 α β V 中任意两个向量α,β ，均有一个确定的、记作( , ) 的实数与之对应，并且下列条件被满足： (1) (α, β) (β,α) kα β k α β (2) ( , ) ( , ) (3) (α+β,γ) (α,γ) +(β,γ) α θ (α,α) 0 （4） ，当且仅当 时， 。 (α,α) ≥0 这里α, β,γ是V 的任意向量，k是任意实数，则称实数 α β ( , ) α β 为向量 与 的内积。 定义了内积运算的线性空间称