高阶方程的降阶法幂级数解法.doc

4.4 高阶微分方程降阶法、二阶线性微分方程幂级数解法 (Power series solution to second order linear ODE ) [教学内容] 1. 介绍高阶方程降阶法. 2. 介绍单摆方程及其椭圆积分函数.3. 介绍刘维尔公式求解二阶线性方程. [教学重难点] 重点是知道振幅反应(Amplitude Response）； 难点是知道常见函数的拉普拉斯变换和逆变换. [教学方法] 预习1、2；讲授1、2 [考核目标] 1. 知道共振现象. 2. 知道拉普拉斯变换的概念和性质.3. 知道常见函数的拉普拉斯变换和逆变换. 高阶方程降阶法 例68. 数学摆方程及其求解 解：（1）模型描述：一根长度为的线一端是质量为m的质点，另一端系于固定点O，质点在垂直于地面的平面上作圆周运动。取逆时针运动方向作为摆与铅垂线所成角的正方向，质点运动加速度为，所受的力为. 于是单摆方程为. 下面考察如下柯西问题：，. 令，下面导出，由知，. 于是原方程化为，这是一个一阶可分离变量型方程。 解得，再由初始条件得到 ，其中号由摆运动位置确定. 将返回原变量得到，这也是一个一阶可分离变量型方程。先考察摆从最大正角到之间运动情形： ，特别地令，则表示摆从最大正角到之间运动所需时间. 在考察摆从运动到最大正角之间运动情形： ，容易得到， ，因此单摆完成一个周期所需时间为. 注解：(1) 称为椭圆积分函数，其反函数称为椭圆函数. 当初始偏角很小时，（近似公式推导如下） ，令，则， 于是当很小时，，得到. 作业58. 求解方程(1) ; (2) . 二阶线性方程的幂级数解法 幂级数收敛：；. Geometric series: ; Binomial series: . 幂级数一些性质：(a) 幂级数相等(Identity Principle)：当且仅当. (b) 幂级数收敛半径(Radius of Convergence)：给定幂级数，如果，则幂级数收敛区间为，端点处敛散性单独考虑. (c) 幂级数求导法则：如果在开区间I上收敛，则在I上可导且导数为 . (d) 幂级数指标调换（Shift of Index of summation）：例如. 例69. 用幂级数方法求解方程. 解：令代入方程比较系数得到 ，调整指标得到 ，于是， ，解得 得到，由知， 原方程的幂级数解，收敛区间为. 作业59. 运用幂级数方法求解方程.