高阶方程的降阶法幂级数解法.doc
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4.4 高阶微分方程降阶法、二阶线性微分方程幂级数解法
(Power series solution to second order linear ODE )
[教学内容] 1. 介绍高阶方程降阶法. 2. 介绍单摆方程及其椭圆积分函数.3. 介绍刘维尔公式求解二阶线性方程.
[教学重难点] 重点是知道振幅反应(Amplitude Response); 难点是知道常见函数的拉普拉斯变换和逆变换.
[教学方法] 预习1、2;讲授1、2
[考核目标]
1. 知道共振现象. 2. 知道拉普拉斯变换的概念和性质.3. 知道常见函数的拉普拉斯变换和逆变换.
高阶方程降阶法
例68. 数学摆方程及其求解
解:(1)模型描述:一根长度为的线一端是质量为m的质点,另一端系于固定点O,质点在垂直于地面的平面上作圆周运动。取逆时针运动方向作为摆与铅垂线所成角的正方向,质点运动加速度为,所受的力为. 于是单摆方程为.
下面考察如下柯西问题:,.
令,下面导出,由知,.
于是原方程化为,这是一个一阶可分离变量型方程。
解得,再由初始条件得到
,其中号由摆运动位置确定.
将返回原变量得到,这也是一个一阶可分离变量型方程。先考察摆从最大正角到之间运动情形:
,特别地令,则表示摆从最大正角到之间运动所需时间.
在考察摆从运动到最大正角之间运动情形:
,容易得到,
,因此单摆完成一个周期所需时间为.
注解:(1) 称为椭圆积分函数,其反函数称为椭圆函数.
当初始偏角很小时,(近似公式推导如下)
,令,则,
于是当很小时,,得到.
作业58. 求解方程(1) ; (2) .
二阶线性方程的幂级数解法
幂级数收敛:;.
Geometric series: ;
Binomial series: .
幂级数一些性质:(a) 幂级数相等(Identity Principle):当且仅当.
(b) 幂级数收敛半径(Radius of Convergence):给定幂级数,如果,则幂级数收敛区间为,端点处敛散性单独考虑.
(c) 幂级数求导法则:如果在开区间I上收敛,则在I上可导且导数为
.
(d) 幂级数指标调换(Shift of Index of summation):例如.
例69. 用幂级数方法求解方程.
解:令代入方程比较系数得到
,调整指标得到
,于是,
,解得
得到,由知,
原方程的幂级数解,收敛区间为.
作业59. 运用幂级数方法求解方程.
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