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高阶方程的降阶法幂级数解法.doc

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4.4 高阶微分方程降阶法、二阶线性微分方程幂级数解法 (Power series solution to second order linear ODE ) [教学内容] 1. 介绍高阶方程降阶法. 2. 介绍单摆方程及其椭圆积分函数.3. 介绍刘维尔公式求解二阶线性方程. [教学重难点] 重点是知道振幅反应(Amplitude Response); 难点是知道常见函数的拉普拉斯变换和逆变换. [教学方法] 预习1、2;讲授1、2 [考核目标] 1. 知道共振现象. 2. 知道拉普拉斯变换的概念和性质.3. 知道常见函数的拉普拉斯变换和逆变换. 高阶方程降阶法 例68. 数学摆方程及其求解 解:(1)模型描述:一根长度为的线一端是质量为m的质点,另一端系于固定点O,质点在垂直于地面的平面上作圆周运动。取逆时针运动方向作为摆与铅垂线所成角的正方向,质点运动加速度为,所受的力为. 于是单摆方程为. 下面考察如下柯西问题:,. 令,下面导出,由知,. 于是原方程化为,这是一个一阶可分离变量型方程。 解得,再由初始条件得到 ,其中号由摆运动位置确定. 将返回原变量得到,这也是一个一阶可分离变量型方程。先考察摆从最大正角到之间运动情形: ,特别地令,则表示摆从最大正角到之间运动所需时间. 在考察摆从运动到最大正角之间运动情形: ,容易得到, ,因此单摆完成一个周期所需时间为. 注解:(1) 称为椭圆积分函数,其反函数称为椭圆函数. 当初始偏角很小时,(近似公式推导如下) ,令,则, 于是当很小时,,得到. 作业58. 求解方程(1) ; (2) . 二阶线性方程的幂级数解法 幂级数收敛:;. Geometric series: ; Binomial series: . 幂级数一些性质:(a) 幂级数相等(Identity Principle):当且仅当. (b) 幂级数收敛半径(Radius of Convergence):给定幂级数,如果,则幂级数收敛区间为,端点处敛散性单独考虑. (c) 幂级数求导法则:如果在开区间I上收敛,则在I上可导且导数为 . (d) 幂级数指标调换(Shift of Index of summation):例如. 例69. 用幂级数方法求解方程. 解:令代入方程比较系数得到 ,调整指标得到 ,于是, ,解得 得到,由知, 原方程的幂级数解,收敛区间为. 作业59. 运用幂级数方法求解方程.
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