2012年北京市西城区高三毕业班二模数学(理)试题及答案.doc

PAGE  第  PAGE 13 页 共  NUMPAGES 13 页 北京市西城区2012年高三二模试卷 数 学（理科） 2012.5 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知集合，，其中．若，则的取值范围是（ ）（A）（B）（C）（D） 2．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数： ①； ②； ③； ④． 则输出函数的序号为（ ） （A）① （B）② （C）③ （D）④ 3．椭圆 是参数的离心率是（ ）（A）（B）（C）（D） 4．已知向量，，其中．则“”是“”的（ ）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件 5．右图是，两组各名同学体重（单位：） 数据的茎叶图．设，两组数据的平均数依次 为和，标准差依次为和，那么（ ） （注：标准差，其中为的平均数）（A），（B），（C），（D）， 6．已知函数，其中实数随机选自区间．对，的概率是（ ）（A）（B）（C）（D） 7．某大楼共有层，有人在第层上了电梯，他们分别要去第至第层，每层人．因 特殊原因，电梯只允许停次，只可使人如愿到达，其余人都要步行到达所去的楼层．假设这位乘客的初始“不满意度”均为，乘客每向下步行层的“不满意度”增量为，每向上步行层的“不满意度”增量为，人的“不满意度”之和记为，则的最小值是（ ）（A）（B）（C）（D） 8．对数列，如果及，使 成立，其中，则称为阶递归数列．给出下列三个结论： 若是等比数列，则为阶递归数列； 若是等差数列，则为阶递归数列； 若数列的通项公式为，则为阶递归数列． 其中，正确结论的个数是（ ）（A）（B）（C）（D） 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9．在△中，，，，则 _____． 10．已知复数满足，则_____． 11．如图，△是⊙的内接三角形，是⊙的切 线，交于点，交⊙于点．若， ，，，则_____； _____． 12．已知函数是上的偶函数，则实数_____；不等式 的解集为_____． 13．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图 是腰长为的两个全等的等腰直角三角形，该几何体 的体积是_____；若该几何体的所有顶点在同一球面 上，则球的表面积是_____． 14．曲线是平面内到定点和定直线的距离之和等于的点的轨迹，给出 下列三个结论： ① 曲线关于轴对称； ② 若点在曲线上，则； ③ 若点在曲线上，则. 其中，所有正确结论的序号是____________． 三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题满分13分） 已知函数． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若对于任意的，都有，求实数的取值范围． 16．（本小题满分14分） 如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直．∥，，，． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值； （Ⅲ）线段上是否存在点，使// 平面？若存在，求出；若不存在，说明理由． 17．（本小题满分13分） 甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的道题．规定每次考试都从备选的道题中随机抽出道题进行测试，答对一题加分，答错一题（不答视为答错）减分，至少得分才能入选． （Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望； （Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率． 18．（本小题满分13分） 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点． （Ⅰ）若，求直线的斜率； （Ⅱ）设点在线段上运动，原点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值． 19．（本小题满分14分） 已知函数，其中． （Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程； （Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）若在上存在最大值和最小值，求的取值范围． 20．（本小题满分13分） 若或，则称为和的一个位排列．对于，将排列记为；将排列记为；依此类推，直至． 对于排列和，它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的个数，叫做和的相关值，记作．例如，则， ． 若，则称为最佳排列． （Ⅰ）写出所有的最佳排列； （Ⅱ）证明：不存在最佳排列； （Ⅲ）若某个是正整数为最佳排列，求排列中的个数． 北京市西城区2012年高三二模试卷 数学（理科）参考答案及评分标准