大学生数学建模比赛.docx

太阳影子定位摘要本文综合利用了最小二乘法和穷举法等数学方法，建立了太阳照射下直杆影长与当地经纬度之间关系的数学模型，解决了影长和时间已知的情况下，求解直杆所在地经纬度的问题。首先基于赤纬，时角及太阳高度角的的概念和计算公式，结合杆长，依据直角三角形中的边角关系，建立影长的数学模型，在所建模型的基础上利用MATLAB软件画出直杆于北京时间9：00-15:00在天安门广场的影长变化曲线，并讨论影长的变化规律。在问题二中，依据附件1提供的数据，利用最小二乘法拟合得到一条影长关于北京时间的二次曲线，求出曲线最低点对应的北京时间，即当地正午12：00，通过时间差求得经度差，进而得到当地经度。利用非线性最小二乘法的思想，应用lstopt软件，选择“麦夸特法+通用全局优化法”内置算法，对直杆长度和纬度值进行求解，然后，通过google地图确定直杆所处地点。其次，利用问题二中的经度模型来求解经度，对于纬度，将问题二中的纬度模型推广为日期不定的模型，将2015年1月1日到12月31日的日期进行穷举，每10天为一个间隔，进而得到多组直杆长度和直杆所在地纬度的值，通过比较各组值的相关系数，得到直杆所在地的纬度。问题四和问题五中，将附件4中的视频以视频开始时间为基准进行间隔三分钟的截图，共得到14张图片，利用Photoshop软件获取影子坐标，基于问题二中的模型求出经度，列出三个方程，利用方位角，赤纬，高度角，时角，当地纬度之间的关系，应用VisualStudio2012软件求出当地纬度，得到可能的拍摄地点。再利用问题三中所建纬度模型，求解出在日期未知的情况下直杆所在地的纬度和对应的日期。关键词：最小二乘法；麦夸特法；穷举法；影子定位问题重述太阳影子定位技术是通过分析视频中物体在太阳光照射下的影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法，对于解决现实生活中的住宅布置、建筑间距、房屋朝向等问题都有一定的指导意义。1.试确立影响影长的各个参数，建立数学模型，并分析影长的变化规律。根据模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场3米高的直杆的太阳影长的变化曲线。2.根据固定直杆的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点,并根据附件1所给数据，写出若干个可能的地点。同时建立数学模型确定直杆所处的地点和日期，并根据附件2和附件3的数据，写出若干个可能的地点与日期。4．附件4为一根2米直杆在太阳下的影子变化的视频，建立确定视频拍摄地点的数学模型，并写出若干个可能的拍摄地点。如果拍摄日期未知，根据视频确定出拍摄地点与日期。二、问题分析2.1 问题一的分析本问要求依据多个参数，建立影长变化的数学模型，并分析其变化曲线。首先，根据太阳高度角[1]的概念，我们提取了日期，当地纬度，赤纬（太阳直射点纬度），时角[2]共4个参数来刻画太阳高度角与各个参数之间的关系，由于杆长已知，结合求得的太阳高度角利用MATLAB软件，即可得到影长随时间的变化值，然后，画出3米高直杆于10月22日9:00-15:00在北京天安门广场的影长变化曲线。2.2 问题二的分析本问要求根据固定直杆的太阳影子定点坐标，建立数学模型确定直杆所处的地点。由于影长为0的时刻是当地正午12:00，故通过附件一中给出的太阳影子定点坐标和北京时间建立拟合方程，接着对影长取最小值，求出对应的北京时间，然后，求出两地时间差，应用转换公式，求出经度差，即可确定直杆所处地的经度。利用投影三角形内的边角关系和太阳高度角公式联立整合得到的公式，进行多元非线性拟合，求得直杆所在地的纬度。2.3 问题三的分析问题三相较于问题二而言，日期变成未知量，但问题二中建立的经度模型仍可以用来求解经度，所以可以将问题二中的模型进行优化求解，由于同一地点每一年的太阳照射情况大致相同，故可以将2015年从1月1日到12月31日进行穷举，应用MATLAB软件中的nlinfit函数工具进行拟合，得到365组拟合值，最后通过比较拟合效果进行取舍得到最优解，即为直杆所在地的日期和经纬度。2.4 问题四的分析问题四中要求对已知杆长为2米，从附件4中的视频提取信息，求出可能的拍摄地点。首先将附件4中的视频以视频开始时间为基准进行间隔为三分钟的截图，将得到的图片导入到Photoshop软件中，进行影子坐标的确定，经度的求解利用问题二中的模型，利用方位角,赤纬，高度角，时角，当地纬度之间的关系，列出三个方程，组成方程组，并用VisualStudio2012软件求出当地纬度，得到可能的拍摄地点。2.5 问题五的分析问题五提出了能否在日期未知的情况下求解附件4中视频经纬度的问题，由于经度与日期无关，即经度为问题四求得的经度。可以利用问题三中所建纬度模型，结合问题四中得到的影长与北京时间的拟合函数，即可在日期未知的情况下求出直