实变函数A.doc

实变函数 一、单项选择题 （每题5分，共20分） 1、下列各式正确的是（ ） （A）; （B）; （C）; （D）; 2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是（ ） （A） c (B) (C) (D) 3、下列说法不正确的是（ ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D）波雷耳集都可测 4、设是上的有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A）若, 则 (B) 是可测函数 （C）是可测函数;（D）若,则可测 二. 填空题(每小题5分，共20分) 1、_________ 2、设是上有理点全体，则=______,=______,=______. 3、设是中点集，如果对任一点集都有_________________________________，则称是可测的 4、可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. （填“充分”，“必要”，“充要”） 三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.(每小题5分，共20分) 1、任意个闭集的并集仍是闭集. 2、若，则一定是可数集. 3、若是可测函数，则必是可测函数。 4、设在可测集上可积分，若，则 四、证明题 ( 5小题，共40分) 1、（6分） 证明：所有系数为有理数的多项式组成一可数集. 2、（8分）设是上的实值连续函数，则对于任意常数是闭集。 3、(8分) 设,若，则E可测集且. 4、（8分）设在上可积，，则. 得 分 阅卷人 复查人 5、（10分）设是上有限的函数，若对任意，存在闭子集，使在上连续，且，证明：是上的可测函数。(鲁津定理的逆定理) 　 考 生 答 题 不 得 超 过 此 线