初一数学知识点..docx

初一知识点 杨辉三角形 基本性质杨辉三角有多种重要的性质。概述 前提：端点的数为1.每个数等于它上方两数之和。每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。第n行的数字有n项。第n行数字和为2n-1。第n行的m个数可表示为?C(n-1,m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。第n行的第m个数和第n-m+1个数相等 ，为组合数性质之一。每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和，这也是组合数的性质之一。即?C(n+1,i)=C(n,i)+C(n,i-1)。(a+b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个斐波那契数；将第2n行第2个数(n1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。将各行数字相排列，可得11的n-1（n为行数）次方：1=11^0; 11=11^1; 121=11^2……当n≥5时会不符合这一条性质，此时应把第n行的最右面的数字1放在个位，然后把左面的一个数字的个位对齐到十位... ...，以此类推，把空位用“0”补齐，然后把所有的数加起来，得到的数正好是11的n-1次方。以n=11为例，第十一行的数为：1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1，结果为 25937424601=1110。应用性质5和性质7是杨辉三角的基本性质，是研究杨辉三角其他规律的基础。与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。例如在杨辉三角中，第3行的三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的每一项的系数（性质 8），第4行的四个数恰好依次对应两数和的立方的展开式的每一项的系数，即，以此类推。又因为性质5：第n行的m个数可表示为C(n-1,m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。因此可得出二项式定理的公式为：因此，二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学。求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”。数在杨辉三角中的出现次数由1开始，正整数在杨辉三角形出现的次数为∞,1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4, ... （OEIS:A003016）。最小而又大于1的数在贾宪三角形至少出现n次的数为2, 3, 6, 10, 120, 120, 3003, 3003, ... （OEIS:A062527）除了1之外，所有正整数都出现有限次，只有2出现刚好一次，6,20,70等出现三次；出现两次和四次的数很多，还未能找到出现刚好五次的数。120,210,1540等出现刚好六次。（OEIS:A098565）因为丢番图方程?有无穷个解，所以出现至少六次的数有无穷个多。解为，其中Fn表示第n个斐波那契数（F1=F2=1）。3003是第一个出现八次的数。 糖水不等式a克糖水中有b克糖（a0，b0，且ab），则糖的质量和糖水的质量比为：b/a，若再添加c克糖（c0），则糖的质量和糖水的质量比为：(b+c)/(a+c)。生活经验告诉我们，添加糖后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：(b+c)/(a+c)b/a(ab0,c0)。趣称之为“糖水不等式”。 证明方法作差法有分数?，在分子分母同时加上一个?，即：则用作差法表示为：∵ab0,c0∴∴一个真分数在分母分子同时加上一个正数时，分数将变大。正如同糖水里加糖会越来越甜。糖水不等式：成立。作商法根据作商法可知：若糖水不等式成立，则不等式：也成立。由不等式左边得：即：∵ab0且c0∴ab0,acbc0即：∴不等式：成立，糖水不等式：也成立。分析法由不等式的基本性质和糖水不等式有：??????∵c0∴此等式成立，糖水不等式：也成立。公式拓展有分数?，在分子分母同时加上一个?，即：始终有： 直线、射线、线段 丰富的图形世界 有理数四则混合计算： 整式概念及加减运算 平面图形及位置关系 一次一元方程 统计与知识回顾 5.补充：1.劣角：0°＜劣角＜180° 优角：180°＜优角＜360° 2.随便画一个角，其实有两个角，只要小角≠90°，那小角是劣角，大角是优角。作商法是一种简易的比较两数或两式的方法比如说有两个数a和b。a/b与1比较，大于1则a大,小于1则b大，等于1则等大1、若a0，b0， a不等于b。比较a与b的大小。2、若a0,b0, a不等于b。比较a与b的大小[pre]关键是把两个数的商约分后化简，从而判断它们的商有理数有理数