必修②第二章 点直线平面之间的位置关系.doc

第9讲 §2.1.1 平面 ¤学习目标：能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面”；理解平面的无限延展性；正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系；初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化；理解可以作为推理依据的三条公理. ¤知识要点： 1. 点在直线上,记作；点在平面内,记作；直线在平面内,记作. 2. 平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下： 公理1 公理2 公理3 图形语言 文字语言 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 符号语言 3.公理2的三条推论： 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. ¤例题精讲： 【例1】如果一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线是否共面？（P56 A组5题） 解：根据公理2的推论3，可知两条平行直线确定一个平面，又由公理1可知，与两条平行直线相交的第三条直线在这个平面内，所以一条直线与两条平行直线都相交时，这三条直线是共面的关系. 【例2】空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，已知EF和GH交于P点，求证：EF、GH、AC三线共点. （同P58 B组3题） 解：∵PEF，EF面ABC，∴P面ABC. 同理P面ADC. ∵ P在面ABC与面ADC的交线上， 又 ∵面ABC∩面ADC=AC， ∴PAC，即EF、HG、AC三线共点. 【例3】求证：两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内. 已知：直线两两相交，交点分别为， 求证：直线共面. 证明：因为A，B，C三点不在一条直线上，所以过A，B，C三点可以确定平面α． 因为A∈α，B∈α，所以AB α． 同理BC α，AC α. 所以AB，BC，CA三直线共面． 点评：先依据公理2, 由不共线的三点确定一个平面，再依据公理1, 证三条直线在平面内. 注意文字语言给出的证明题，先根据题意画出图形，然后给出符号语言表述的已知与求证. 常根据三条公理，进行“共面”问题的证明. 【例4】在正方体中， （1）与是否在同一平面内？（2）点是否在同一平面内？ （3）画出平面与平面的交线，平面与平面的交线. 解：（1）在正方体中， ∵， ∴由公理2的推论可知，与可确定平面， ∴与在同一平面内. （2）∵点不共线，由公理3可知，点可确定平面， ∴ 点在同一平面内. （3）∵，， ∴点平面，平面， 又平面，平面， ∴ 平面平面， 同理平面平面． 点评：确定平面的依据有公理2（不在同一条直线上的三点）和一些推论（两条平行直线、两条相交直线、直线和直线外一点）. 对几条公理的作用，我们必须十分熟练. 第9练 §2.1.1 平面 ※基础达标 1．两个平面若有三个公共点，则这两个平面（ ）. A．相交 B．重合 C．相交或重合 D．以上都不对 2．下列推断中，错误的是（ ）. A． B． C． D．，且A、B、C不共线重合 3．E、F、G、H是三棱锥A-BCD棱AB、AD、CD、CB上的点，延长EF、HG交于P，则点P（ ） A. 一定在直线AC上 B. 一定在直线BD上 C. 只在平BCD内 D. 只在平面ABD内 用一个平面截一个正方体，其截面是一个多边形，则这个多边形边数最多是（ ） A. 三 B. 四 C. 六 D. 八 下列中正确的是 A. 空间不同的三点确定一个平面 B. 空间两两相交的三条直线确定一个平面 C. 空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形 D. 和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内 已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是 ※能力提高 8．正方体中,E、F、G、H、K、L分别是 的中点. 求证：这六点共面． 9．（1）在平面α外，，，，求证：P，Q，R三点共线. （2）已知四边形ABCD中，AB∥CD，四条边AB，BC，DC，AD（或其延长线）分别与平面α相交于E，F，G，H四点，求证：四点E，F，G，H共线. 在一封闭的正方体容器内装满水，M，N分别是AA1与C1D1的中点，由于某种原因，在D，M，N三点处各有一个小洞，为使此容器内存水最多，问应将此容器如何放置？此时水的上表