教案 空间向量与平行关系.doc
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课题:空间向量与平行关系
教学目标:1.理解直线的方向向量与平面的法向量,并能运用它们证明平行问题.
2.能用向量语言表述线线,线面,面面的平行关系.
教材分析:1.求直线的方向向量,平面的法向量.(重点)
2.用方向向量,法向量处理线线、线面、面面间的平行关系.(重点、难点)
教学过程:一,导入
1.直线的方向向量
直线的方向向量是指和这条直线 或 的向量.
2.平面的法向量
直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则a叫做平面α的 .
3.空间中平行关系的向量表示
线线平行 设直线l,m的方向向量分别为a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2),则l∥m? . 线面平行 设直线l的方向向量为a=(a1,b1,c1),平面α的法向量为u=(a2,b2,c2),则
l∥α? . 面面平行 设α,β的法向量分别为u=(a1,b1,c1),v=(a2,b2,c2),则α∥β? .
二,练习巩固:
1.设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为b,若a·b=0,则( )
A.l∥α B.l?α
C.l⊥α D.l?α或l∥α
2.设平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量为(-2,-4,k),若α∥β,则k=( )
A.2 B.-4
C.4 D.-2
3.已知直线l1的一个方向向量为(-7,3,4),直线l2的一个方向向量为(x,y,8),且l1∥l2,则x=________,y=________.
4.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E、M、N分别是BC、AE、CD1的中点,AD=AA1=a,AB=2a.求证:MN∥平面ADD1A1.
三.例题
题型一 由直线的方向向量与平面的法向量判断平行关系
(1)设a,b分别是不重合的直线l1,l2的方向向量,根据下列条件判断l1,l2的位置关系:
①a=(4,6,-2),b=(-2,-3,1)
②a=(5,0,2),b=(0,1,0)
③a=(-2,-1,-1),b=(4,-2,-8)
(2)设u,v分别是不同的平面α,β的法向量,根据下列条件判断α,β的位置关系:
(3)设u是平面α的法向量,a是直线l的方向向量,根据下列条件判断α与l的位置关系:
①u=(2,2,-1),a=(-6,8,4)
②u=(2,-3,0),a=(8,-12,0)
③u=(1,4,5),a=(-2,4,0)
题型二 求平面的法向量
1 已知平面α经过三点A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),试求平面α的一个法向量.
2.正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点,分别求平面AED与平面A1FD的法向量.
题型三 用向量方法证明空间中的平行关系
1已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E、F分别是BB1、DD1的中点,求证:
(1)FC1∥平面ADE;
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
小结:1.如何认识直线的方向向量?
四,空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个方向确定.在直线l上取A=a,a可以作为l的方向向量,借助点A和a即可确定直线l的位置,并能具体表示出直线l上的任意一点.
2.如何理解平面的法向量?
(1)平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量.
(2)一个平面的法向量有无限多个,它们互相平行.
3.如何认识直线的方向向量和平面的法向量的作用?
(1)可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直等位置关系.
(2)可以利用它们表示直线与平面所成的线面角.
(3)可以解决有关线段的长度或点、线、面之间的距离问题.
作业
1
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