空间向量与平行、垂直关系.ppt

* * 空间向量与平行、垂直关系 一、平面α的法向量的定义 设直线l为平面? 的一条垂线，则直线 l 的任意一条方向向量 都叫做平面? 的法向量. 平面? 的法向量 由平面上任意两个不共线向量 来确定，即由 也即 求得. 平面法向量的具体求法： 首先设平面? 的法向量为 ，在平面内任取两个相交直线的方向向量 由 得两个三元一次方程，再令 x, y, z 中的一个为某一特殊的值即得平面? 的一个法向量 例如已知A(1, 0, 1), B(0, 1, 1), C(1, 1, 0)，求平面 ABC 的一个法向量 略解：设平面ABC的法向量为 ，则由 及 ? ? 令 y = 1 得平面ABC 的一个法向量为 已知ABCD 是直角梯形,∠ABC=90°, SA⊥平面ABCD, SA=AB=BC=1，AD= ，试建立适当的坐标系. 求平面SCD的一个法向量. 变式训练 x y z 答案：(2, -1, 1) x y 二、利用向量判断直线、平面位置关系的方法 1.线线平行： 两直线的方向向量共线，且一条直线上存在另一条直线之外的点 2.线线垂直： 两直线的方向向量垂直，即内积为零. 3.线面平行： 直线的方向向量与平面的法向量垂直，且直线上存在平面外的点. 4.线面垂直 直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量都垂直（即与平面内的两个不共线向量都垂直） 5.面面平行： 两个平面的法向量共线，且其中一个平面中存在另一个平面之外的点. 6.面面垂直: 两个平面的法向量垂直，即法向量的内积为0 *