2015-2024年十年高考数学真题分类汇编专题19 解三角形大题综合（解析版）.docx
2013-2024年十年高考真题汇编
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专题19解三角形大题综合
考点
十年考情（2015-2024）
命题趋势
考点1求面积的值及范围或最值
（10年7考）
2024·北京卷、2023·全国甲卷、2023·全国乙卷
2022·浙江卷、2019·全国卷、2017·全国卷
2016·全国卷、2015·浙江卷、2015·全国卷
2015·山东卷
掌握正弦定理、余弦定理及其相关变形应用，会用三角形的面积公式解决与面积有关的计算问题，会用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决三角形中的综合问题，会利用基本不等式和相关函数性质解决三角形中的最值及范围问题
本节内容是新高考卷的必考内容，一般给以大题来命题、考查正余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的应用，同时也结合三角函数及三角恒等变换等知识点进行综合考查，也常结合基本不等式和相关函数性质等知识点求解范围及最值，需重点复习。
考点2求边长、周长的值及范围或最值
（10年8考）
2024·全国新Ⅱ卷、2024·全国新Ⅰ卷、2023·全国新Ⅱ卷、2022·全国新Ⅱ卷、2022·全国乙卷、2022·北京卷、2022·全国新Ⅰ卷、2020·全国卷、2020·全国卷、2018·全国卷、2017·全国卷、2017·山东卷
2017·全国卷、2016·全国卷、2015·浙江卷
2015·山东卷
考点3求角和三角函数的值及范围或最值
（10年10考）
2024·天津卷、2023·天津卷、2022·天津卷、2021·天津卷、2021·全国新Ⅰ卷、2020·天津卷
2020·浙江卷、2020·江苏卷、2019·江苏卷
2019·北京卷、2019·全国卷、2018·天津卷
2017·天津卷、2017·天津卷、2016·四川卷
2016·浙江卷、2016·浙江卷、2016·天津卷
2016·北京卷、2016·山东卷、2016·四川卷
2016·江苏卷、2015·江苏卷、2015·天津卷
2015·四川卷、2015·湖南卷、2015·湖南卷
2015·全国卷
考点4求三角形的高、中线、角平分线及其他线段长
（10年几考）
2023·全国新Ⅰ卷、2018·北京卷、2018·全国卷
2015·安徽卷、2015·全国卷
考点5三角形中的证明问题
（10年4考）
2022·全国乙卷、2021·全国新Ⅰ卷、2016·四川卷
2016·浙江卷、2016·山东卷、2016·四川卷
2015·湖南卷
考点01求面积的值及范围或最值
1．（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，．
(1)求；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)；
(2)选择①无解；选择②和③△ABC面积均为.
【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；
（2）选择①，利用正弦定理得，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出，再代入式子得，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到，再利用正弦定理得到，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可；
【详解】（1）由题意得，因为为钝角，
则，则，则，解得，
因为为钝角，则.
（2）选择①，则，因为，则为锐角，则，
此时，不合题意，舍弃；
选择②，因为为三角形内角，则，
则代入得，解得，
,
则.
选择③，则有，解得，
则由正弦定理得，即，解得，
因为为三角形内角，则，
则
，
则
2．（2023·全国甲卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理即可解出；
（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．
【详解】（1）因为，所以，解得：．
（2）由正弦定理可得
，
变形可得：，即，
而，所以，又，所以，
故的面积为．
3．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D为BC上一点，且，求的面积.
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)首先由余弦定理求得边长的值为，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函数基本关系可得；
(2)由题意可得，则，据此即可求得的面积.
【详解】（1）由余弦定理可得：
，
则，，
.
（2）由三角形面积公式可得，
则.
4．（2022·浙江·高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）先由平方关系求出，再根据正弦定理即可解出；
（2）根据余弦定理的推论以及可解出