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第一章 计数原理复习 排列与组合 一、知识点： 1.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第n类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有 种不同的方法 2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事有 种不同的方法 3．排列的概念：从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列 4．排列数的定义：从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示 5．排列数公式：（） 6PAGEXXX阶乘：表示正整数1到的连乘积，叫做的阶乘规定． 7．排列数的另一个计算公式：= 8PAGEXXX组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合 9．组合数的概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出个元素的组合数．用符号表示． 10．组合数公式： 或 11 组合数的性质1：．规定：； 12．组合数的性质2：＝+ 例1．用0,1,2,3,4,5这六个数字， （1）可以组成多少个三位数？ （2）可以组成多少个允许重复的三位数？ （3）可以组成多少个不重复的三位奇数？ （4）可以组成多少个数字不重复且小于1000的自然数？ （5）可以组成多少个数字不重复的大于3000小于5421的四位数？ ［剖析］本题是一种典型的选数与组数的问题，与计数有关，故考虑利用两个计数原理解决，但需要注意的是，无论组成多少位数字，首位均不能为0. ［解］（1）分三步： = 1 \* GB3 ①先选百位数字，由于0不能作为百位数，因此有5种不同的选法； = 2 \* GB3 ②十位数字有5种选法； = 3 \* GB3 ③个位数字有4种不同的选法，由分步乘法计数原理知，所求的三位数共有个。 （2）分三步： = 1 \* GB3 ①先选百位数字，由于0不能作为百位数字，因此有5种不同的选法；  = 2 \* GB3 ②十位数字有6种不同的选法； = 3 \* GB3 ③个位数字有6种不同的选法。由分步乘法计原理可知所求的三位数共有5×6×6＝180个。 （3）分三步： = 1 \* GB3 ①先选个位数字，由于组成的三位数是奇数，因此有3种不同的选法； = 2 \* GB3 ②再选百位数字有4种选法； = 3 \* GB3 ③十位数字也有4种选法。由分步乘法计数原理知，所求的三位数3×4×4＝48. （4）分三类： = 1 \* GB3 ①一位数，共有6个； = 2 \* GB3 ②两位数，共有5×5＝25个； = 3 \* GB3 ③三位数，共有5×5×4＝100个.因此，由分类加法计数原理知所求6＋25＋100＝131个。 （5）分四类： = 1 \* GB3 ①千位数为3,4之一时，共有2×5×4×3＝120个； = 2 \* GB3 ②千位数字为5，百位数字为0,1,2,3之一时，共有4×4×3＝48个； = 3 \* GB3 ③千位数字为5，百位数字为4，十位数字为0,1之一时，共有2×3＝6个； = 4 \* GB3 ④还有5420也满足条件，此时有1个.故所求的自然数共有120＋48＋6＋1＝175个。 例2．某天某班的课程安排要排入数学、语文、英语、物理、化学、体育六门课程，根据课程特点，第一节不能排体育，第六节不能排数学，那么一共有多少种不同的排法？ ［剖析］将六门课程看作是元素，把节次看作是位置，因此这个问题中可以把第一节与第六节看作是特殊位置，也可以将体育与数学看作是特殊元素，从而可采用两种不同的方法加以解决。 ［解］解法一（位置分析法）依第一节课的排法进行分类： 第一节排数学，第六节排体育的排法有种； 第一节排数学，第六节不排体育的排法有种； 第一节不排数学，第六节排体育的排法有种； 第一节和第六节都不排数学和体育的排法有种。 由分类加法计数原理，所求的不同的排法为：＋2＋＝504种。 解法二：依数学课的排法进行分类： 因为数学排在第一节，体育排在第六节的排法有有种； 数学排在第一节，体育不排在第六节的排法有种； 数学不排在第一节，体育排在第六节的排法有种； 数学、体育都在排在第一节和第六节的排法有种。 由分类加法计数原理，所求的不同的排法为：＋2＋＝504种。 加米接力赛，其中甲不愿跑第一棒，乙不愿跑第四棒，则有多少种不同的参赛方案？ 例3．用数字0,1,2,3,4,5